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Démonstration que le produit d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnel

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va démontrer que le produit entre à nombre à sionnel et un nombre irrationnel tous les deux n'ont nulle donne forcément un nombre irrationnel alors là tu peux essayer de le faire de ton côté en faisant poser à la vidéo et en revenant par la suite il se donne un petit indice essayer de le démontrer par l'absurde par l'absurde ça veut dire quoi ça veut dire qu on va supposer qu'en fait c'est plutôt le contraire qui est vrai c'est une supposition supposons que le produit entre rationnel et l'irrationnel soit rationnelle on va montrer qu'il ya une contradiction que ça pose problème ça ne peut pas être vrai et si le contraire est forcément impossible ça veut ça veut dire que ces propositions va forcément être vrai donc là je fais l'hypothèse que que tu as essayé un petit peu de ton côté et là on va le faire ensemble on essaie de faire ça par l'absurde on suppose que le produit entre un nombre rationnelle et un nombre irrationnel donne à nombre rationnelle on va essayer de mettre tout ça en équation pour voir un petit peu les conséquences 1 de cette hypothèse donc là on a un nombre rationnelle ici donc s'il est rationnel ça veut dire qu'il peut forcément s'écrire sous la forme d'un rapport entre deux entier c'est la définition du nombre rationnelle donc on l'écrit assure b on nous dit donc selon ben rationnelle x un nombre irrationnel voilà on va l'appeler x nous donne un selon cette hypothèse là un autre nombre rationnelle donc qui peut par définition s'écrire aussi comme un rapport entre de londres entier donc dans cette histoire un abbé et mais n sont tous des entiers là une équation en fait en x on pourrait très bien essayer de voir ce que vaut x selon cette hypothèse et pour résoudre cette équation masse est assez facile je peux venir x b / à des deux côtés et là ça va permettre de simplifier ses deux fractions et me retrouver avec x égal à m x b / n fois à et pourquoi c'est très intéressant ici on a au numérateur un produit de nombres entiers qui est forcément un entier aussi donc ça hein c'est un entier et au dénominateur pareil ça aussi c'est un entier donc on a on trouve que x si cette hypothèse est vrai un si cette proposition est vrai x s'écrit sous la forme d'un rapport de deux entier donc x est forcément rationnelle c'est une définition or selon l'hypothèse x est un irrationnel donc là une contradiction on suppose que cette proposition là en violet vrai ça nous donne quelque chose de contradictoire x et à la foi irrationnelle et rationnelle ce qui n'est pas possible donc ces propositions est forcément fausse et en vient donc de démontrer que cette proposition initiale est vrai