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Démonstration que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle

Transcription de la vidéo

alors qu'est ce que j'obtiens si j'additionne un nombre rationnelle et un nombre irrationnel est ce que le résultat va être rationnel ou irrationnelle pour en avoir le coeur net par an on peut tout simplement supposé l'année 2 1 par exemple que cette somme ou vous donne un nombre rationnelle et puis voir ce que ça donne un essayer de voir si c'est possible si a pas de contradiction si ça fonctionne bien donc là on peut prendre cette proposition est la mettre en équation 1 si ce premier nombre rationnelle donc s'il est rationnel ça veut dire que on peut l'écrire sous la forme d'un rapport entre deux nombres entiers voilà on va les appeler a et b donc sept membres ationale voa sur b donc plus un nombre irrationnel de se la joue tout simplement l'appeler x est donc selon une autre hypothèse ça doit donner un résultat qui est aussi rationnel c'est à dire qui s'écrit aussi sous la forme d'un rapport entre deux entier on les appelle m et n là ça nous donne en fait une équation en mx1 qu'on peut résoudre assez facilement donc là pour isoler x on peut tout simplement soustraire assure b des deux côtés ça nous donne x égale le m sur aisne - assure b ces différences on peut la mèche folle sous le nom de l'unasur mule dénominateur donc là on choisit un dénominateur qui est le produit des deux ici n b donc on peut multiplier on est en bas ici par b et de l'autre côté multiplié en haut et en bas par l'autre dénominateur n donc là on a tous les deux en deux fractions sur nbc que ça ça vaut quoi ça ça vaut m b - n a le tout sur aisne x b là ça devient intéressante parce que n est un nombre entier b est un nombre entier donc le produit des deux est forcément entier et l'appareil se produit de nombres entiers est entier celui là aussi tu as nombre entier est la différence entre deux nombres entiers est également un nombre entier donc ce numérateur est également nombre entier résultat on a écrit x sous la forme d'un rapport de l'ond rentiers ça veut dire que x doit forcément dans ce cas là sous cette hypothèse que la somme de l'ain produire demain la somme donne un résultat rationnelle x doivent forcément être rationnel aussi et là il ya une ligne on a une énorme contradiction temps à essayer de l'écrire correctement quand même x doit être rationnel donc si on suppose que cette somme là d'un nombre rationnel on trouve forcément que x doit être rationnel or x est irrationnel donc il ya une contradiction cette proposition elle ne peut pas être vrai parce que le x qui était rationnel doit devenir rationnelle ce qui n'est pas possible donc on vient de démontrer que la somme d'1 rationnelle et dany rationnelle doit forcément être irrationnel