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Algèbre II

Leçon 6: Simplifier une racine carrée

Simplifier une racine carrée

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

L'objectif est d'écrire

\sqrt{75}

sous la forme du produit d'un entier par une racine carrée.

On décompose

75

en un produit de facteurs premiers :

75 = 5 \times 5 \times 3 = 5^{2} \times 3

75

est le produit de

3

par le carré de

5

\begin{aligned} \sqrt{75} & = \sqrt{5^{2} \times 3} \\ = \sqrt{5^{2}} \times \sqrt{3} \\ = 5 \times \sqrt{3} \end{aligned}

Donc,

\sqrt{75} = 5 \sqrt{3}

Exercice 1.1

Simplifier cette racine carrée :
Le nombre qui est sous le radical doit être le plus petit possible.

\sqrt{12} =

Voici comment écrire

\sqrt{54 x^{7}}

, avec

x > 0

, sous la forme du produit d'un monôme par une racine carrée.

On décompose

54

en produit de facteurs premiers :

54 = 3 \times 3 \times 3 \times 2 = 3^{2} \times 6

On écrit que

x^{7}

est le produit de

x

et d'un carré :

x^{7} = {(x^{3})}^{2} \times x

La racine carré d'un produit est égale au produit des racines carrées de chacun des facteurs du produit et

x

est strictement positif, donc :

\begin{aligned} \sqrt{54 x^{7}} & = \sqrt{3^{2} \times 6 \times {(x^{3})}^{2} \times x} \\ = \sqrt{3^{2}} \times \sqrt{6} \times \sqrt{{(x^{3})}^{2}} \times \sqrt{x} \\ = 3 \times \sqrt{6} \times x^{3} \times \sqrt{x} \\ = 3 x^{3} \sqrt{6 x} \end{aligned}

Exercice 2.1

Simplifier cette racine carrée :
Le nombre qui est sous le radical doit être le plus petit possible.

\sqrt{20 x^{8}} =

Exercice 3.1

Compléter :
Il faut écrire ce produit sous une autre forme.

x > 0

, alors

2 \sqrt{7 x} \times 3 \sqrt{14 x^{2}} =

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