Passer d'une formule explicite d'une suite arithmétique à sa formule de récurrence, et inversement

Comment passer de la définition par récurrence d'une suite arithmétique à sa définition par une formule explicite et inversement.

Déduire une formule explicite de la suite arithmétique de sa définition par récurrence

Une suite arithmétique est définie par :
{a1=3an+1=an+2\begin{cases} a_1=\greenE 3 \\\\ a_{n+1}=a_{n}\maroonC{+2} \end{cases}
D'après cette formule,
  • Le premier terme de la suite est 3\greenE 3.
  • Chacun des termes de la suite est la somme du terme précédent et de 2\maroonC 2. C'est-à-dire que la raison de la suite est 2\maroonC 2.
Comment la définir sous forme explicite ?
Une formule explicite d'une suite arithmétique (u)(u) de premier terme u1=A\greenE {u_1=A} et de raison B\maroonC B est : pour tout n1n≥1, un=A+B(n1)u_n=\greenE A+\maroonC B(n-1).
Donc une formule explicite de la suite (a)(a) est : pour tout n1n≥1, an=3+2(n1)a_n=\greenE{3}\maroonC{+2}(n-1).

À vous !

Déduire la définition par récurrence de la suite arithmétique de sa formule explicite

Exemple 1 : La formule explicite est sous forme classique

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :
Pour tout n1n≥1, dn=5+16(n1)d_n=\greenE 5\maroonC{+16}(n-1)
Dans la formule "pour tout n1n≥1 un=A+B(n1)u_n=\greenE A+ \maroonC B(n-1)", A\greenE A est le premier terme de la suite et B\maroonC B est sa raison. On en déduit que :
  • le premier terme de la suite est 5\greenE 5
  • sa raison est 16\maroonC {16}.
Pour écrire sa définition par récurrence il faut connaître :
  1. Le premier terme de la suite. Ici, on sait que le premier terme est 5\greenE 5.
  2. La relation qui lie deux termes consécutifs de la suite. Ici, on sait que chacun des termes égal à la somme du terme précédent et de 16\maroonC{16}.
Donc sa définition par récurrence est :
{d1=5dn+1=dn+16\begin{cases} d_1=\greenE 5\\\\ d_{n+1}=d_{n}\maroonC{+16} \end{cases}

Exemple 2 : La formule explicite est sous forme développée et réduite

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :
Pour tout n1n≥1, en=10+2ne_n=10+2n
Le deuxième membre de la formule est sous la forme A+Bn\greenE A+ \maroonC Bn.
Donc le premier terme de la suite et sa raison ne sont pas en évidence et on doit les calculer.
  • e1=10+2×1=12e_{\blueD 1}=10+2\times \blueD 1=12
  • e2=10+2×2=14e_{\blueD 2}=10+2\times \blueD 2=14
Donc le premier terme de la suite est 12\greenE{12} et sa raison est 2\maroonC{2}.
Donc sa définition par récurrence est :
{e1=12en+1=en+2\begin{cases} e_1=\greenE{12}\\\\ e_{n+1}=e_{n}\maroonC{+2} \end{cases}

À vous !

Un dernier exercice

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