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Passer d'une formule explicite d'une suite arithmétique à sa formule de récurrence, et inversement

Comment passer de la définition par récurrence d'une suite arithmétique à sa définition par une formule explicite et inversement.

Déduire une formule explicite de la suite arithmétique de sa définition par récurrence

Une suite arithmétique est définie par :
{a1=3an+1=an+2
D'après cette formule,
  • Le premier terme de la suite est 3.
  • Chacun des termes de la suite est la somme du terme précédent et de 2. C'est-à-dire que la raison de la suite est 2.
Comment la définir sous forme explicite ?
Une formule explicite d'une suite arithmétique (u) de premier terme u1=A et de raison B est : pour tout n1, un=A+B(n1).
Donc une formule explicite de la suite (a) est : pour tout n1, an=3+2(n1).

À vous !

1) Écrire une formule explicite de la suite définie par :
{b1=22bn+1=bn+7
bn=

2) Écrire une formule explicite de la suite définie par :
{c1=8cn+1=cn13
cn=

Déduire la définition par récurrence de la suite arithmétique de sa formule explicite

Exemple 1 : La formule explicite est sous forme classique

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :
Pour tout n1, dn=5+16(n1)
Dans la formule "pour tout n1 un=A+B(n1)", A est le premier terme de la suite et B est sa raison. On en déduit que :
  • le premier terme de la suite est 5
  • sa raison est 16.
Pour écrire sa définition par récurrence il faut connaître :
  1. Le premier terme de la suite. Ici, on sait que le premier terme est 5.
  2. La relation qui lie deux termes consécutifs de la suite. Ici, on sait que chacun des termes égal à la somme du terme précédent et de 16.
Donc sa définition par récurrence est :
{d1=5dn+1=dn+16

Exemple 2 : La formule explicite est sous forme développée et réduite

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :
Pour tout n1, en=10+2n
Le deuxième membre de la formule est sous la forme A+Bn.
Donc le premier terme de la suite et sa raison ne sont pas en évidence et on doit les calculer.
  • e1=10+2×1=12
  • e2=10+2×2=14
Donc le premier terme de la suite est 12 et sa raison est 2.
Donc sa définition par récurrence est :
{e1=12en+1=en+2

À vous !

3) Une formule explicite de la suite arithmétique (f) est : pour tout n1, fn=5+12(n1).
Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?
{f1=Afn+1=fn+B
A=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

4) Une formule explicite de la suite arithmétique (u) est : pour tout n1, un=118(n1).
Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?
{u1=Aun+1=un+B
A=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

5) Une formule explicite de la suite arithmétique (v) est : pour tout n1, vn=1+4n.
Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?
{v1=Avn+1=vn+B
A=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

6) Une formule explicite de la suite arithmétique (w) est : pour tout n1, wn=236n.
Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?
{w1=Awn+1=wn+B
A=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
B=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Un dernier exercice

7*) La suite arithmétique 101,114,127, est la suite où, pour tout n1, :
Choisissez toutes les réponses possibles :

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