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Algèbre II

Cours : Algèbre II > Chapitre 8

Leçon 2: Définir une suite arithmétique

Passer d'une formule explicite d'une suite arithmétique à sa formule de récurrence, et inversement

Comment passer de la définition par récurrence d'une suite arithmétique à sa définition par une formule explicite et inversement.

Prérequis : Établir la formule de récurrence qui définit une suite arithmétique et Etablir une formule explicite qui définit une suite arithmétique.

Déduire une formule explicite de la suite arithmétique de sa définition par récurrence

Une suite arithmétique est définie par :

$\begin{cases} a_1=\greenE 3 \\\\ a_{n+1}=a_{n}\maroonC{+2} \end{cases}$

D'après cette formule,

Le premier terme de la suite est start color #0d923f, 3, end color #0d923f.
Chacun des termes de la suite est la somme du terme précédent et de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6. C'est-à-dire que la raison de la suite est start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.

Comment la définir sous forme explicite ?

Une formule explicite d'une suite arithmétique left parenthesis, u, right parenthesis de premier terme start color #0d923f, u, start subscript, 1, end subscript, equals, A, end color #0d923f et de raison start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 est : pour tout n, ≥, 1, u, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Donc une formule explicite de la suite left parenthesis, a, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

À vous !

1) Écrire une formule explicite de la suite définie par :

\begin{cases}b_1=-22\\\\ b_{n+1}=b_{n}+7 \end{cases}

b, start subscript, n, end subscript, equals

[J'ai besoin d'aide.]

2) Écrire une formule explicite de la suite définie par :

\begin{cases}c_1=8\\\\ c_{n+1}=c_{n}-13 \end{cases}

c, start subscript, n, end subscript, equals

[J'ai besoin d'aide.]

Déduire la définition par récurrence de la suite arithmétique de sa formule explicite

Exemple 1 : La formule explicite est sous forme classique

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :

Pour tout n, ≥, 1, d, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

Dans la formule "pour tout n, ≥, 1 u, start subscript, n, end subscript, equals, start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis", start color #0d923f, A, end color #0d923f est le premier terme de la suite et start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 est sa raison. On en déduit que :

le premier terme de la suite est start color #0d923f, 5, end color #0d923f
sa raison est start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.

Pour écrire sa définition par récurrence il faut connaître :

Le premier terme de la suite. Ici, on sait que le premier terme est start color #0d923f, 5, end color #0d923f.
La relation qui lie deux termes consécutifs de la suite. Ici, on sait que chacun des termes égal à la somme du terme précédent et de start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6.

Donc sa définition par récurrence est :

\begin{cases} d_1=\greenE 5\\\\ d_{n+1}=d_{n}\maroonC{+16} \end{cases}

Exemple 2 : La formule explicite est sous forme développée et réduite

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :

Pour tout n, ≥, 1, e, start subscript, n, end subscript, equals, 10, plus, 2, n

Le deuxième membre de la formule est sous la forme start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, n.

Donc le premier terme de la suite et sa raison ne sont pas en évidence et on doit les calculer.

e, start subscript, start color #11accd, 1, end color #11accd, end subscript, equals, 10, plus, 2, times, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
e, start subscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end subscript, equals, 10, plus, 2, times, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14

Donc le premier terme de la suite est start color #0d923f, 12, end color #0d923f et sa raison est start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.

Donc sa définition par récurrence est :

\begin{cases} e_1=\greenE{12}\\\\ e_{n+1}=e_{n}\maroonC{+2} \end{cases}

À vous !

3) Une formule explicite de la suite arithmétique left parenthesis, f, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, f, start subscript, n, end subscript, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?

\begin{cases} f_1=A\\\\ f_{n+1}=f_{n}+B \end{cases}


A, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[J'ai besoin d'aide.]

4) Une formule explicite de la suite arithmétique left parenthesis, u, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, u, start subscript, n, end subscript, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis.

Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?

\begin{cases} u_1=A\\\\ u_{n+1}=u_{n}+B \end{cases}


A, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[J'ai besoin d'aide.]

5) Une formule explicite de la suite arithmétique left parenthesis, v, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, v, start subscript, n, end subscript, equals, 1, plus, 4, n.

Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?

\begin{cases} v_1=A\\\\ v_{n+1}=v_{n}+B \end{cases}


A, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[J'ai besoin d'aide.]

6) Une formule explicite de la suite arithmétique left parenthesis, w, right parenthesis est : pour tout n, ≥, 1, w, start subscript, n, end subscript, equals, 23, minus, 6, n.

Quelles sont les valeurs de A et de B dans sa formule de récurrence ?

\begin{cases} w_1=A\\\\ w_{n+1}=w_{n}+B \end{cases}


A, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

[J'ai besoin d'aide.]

Un dernier exercice

7*) La suite arithmétique 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point est la suite où, pour tout n, ≥, 1, :

(Choix A)
$\begin{cases} a_1=13\\\\ a_{n+1}=a_{n}+101 \end{cases}$
(Choix B)
$\begin{cases} a_1=101\\\\ a_{n+1}=a_{n}+13 \end{cases}$
(Choix C)
$\begin{cases} a_1=114\\\\ a_{n+1}=a_{n}+13 \end{cases}$
(Choix D)
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, 101, plus, 13, n
(Choix E)
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, 88, plus, 13, n
(Choix F)
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, 114, plus, 13, n
(Choix G)
Pour tout n, ≥, 1, a, start subscript, n, end subscript, equals, 101, plus, 13, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

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