Établir une formule explicite qui définit une suite arithmétique

Par exemple, comment établir la formule explicite de la suite 3, 5, 7.....

Le principe

Une forme explicite de la définition de la suite 3,5,7,...3, 5, 7,... est :
Pour tout n1n≥1, an=3+2(n1)a_n=3+2(n-1)
nn est un entier naturel supérieur ou égal à 11 et ana_n est le terme d'indice nn ou de rang nn.
Pour trouver un terme de rang donné ii, il suffit de remplacer nn par ii dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace nn par 55 :
a5=3+2×(51)=3+2×4=3+8=11\begin{aligned}a_{\greenE 5}&=3+2×(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\times4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
On peut vérifier que 1111 est bien le cinquième terme de la suite.

À vous !

Etablir une formule explicite

Soit la suite arithmétique 5,8,11,...5,8,11,... Son premier terme est 5\greenE5 et sa raison est 3\maroonC3.
A partir du premier terme qui est 5\greenE5, on peut calculer de proche en proche chacun des termes de la suite en ajoutant à chaque fois la raison 3\maroonC3 :
nnCalcul du terme de rang nn
115\greenE{5}=5+0×3=5=\greenE{5}+0\times\maroonC{3}=5
225+3\greenE{5}\maroonC{+3}=5+1×3=8=\greenE{5}+1\times\maroonC{3}=8
335+3+3\greenE{5}\maroonC{+3+3}=5+2×3=11=\greenE{5}+2\times\maroonC{3}=11
445+3+3+3\greenE{5}\maroonC{+3+3+3}=5+3×3=14=\greenE{5}+3\times\maroonC{3}=14
555+3+3+3+3\greenE{5}\maroonC{+3+3+3+3}=5+4×3=17=\greenE{5}+4\times\maroonC{3}=17
Le terme de rang nn est égal à la somme du premier terme 5\greenE{5} et du produit de la raison 3\maroonC{3} par n1n\!-\!\!1 : an=5+3(n1)a_n=\greenE{5}\maroonC{+3}(n-1).
Une forme explicite de la définition de la suite (u)(u) de premier terme u1=au_1=\greenE a et de raison r\maroonC r est :
un=a+r(n1)u_n=\greenE a+\maroonC r(n-1)

À vous !

Une formule explicite peut s'écrire de différentes façons

La forme explicite de la définition d'une suite arithmétique n'est pas unique.
Par exemple, voici des expressions de la formule explicite de la suite 3,5,7,...3,5,7,... :
  • 3+2(n1)3+2(n-1) (comme on l'a vu plu haut)
  • 1+2n1+2n
  • 5+2(n2)5+2(n-2)
Il est clair que ces expressions sont égales.
Mais ceci peut être une source d'erreur

Une erreur à ne pas faire

Si le premier terme de la suite est u1u_1 et si la formule explicite est sous la forme un=a+bnu_n=a+bn, alors u1u_1 n'est pas égal à aa et la raison de la suite n'est pas égale à bb.
Par exemple, soit la suite 2,8,14...2, 8, 14..., de premier terme u1=2u_1=\greenE 2 et de raison 6\maroonC 6.
Sa formule explicite est un=2+6(n1)u_n=\greenE 2\maroonC{+6}(n-1) et non un=2+6nu_n=\greenE 2\maroonC{+6}n qui définit une autre suite.
Pour écrire 2+6(n1)2+6(n-1) sous la forme a+rna+rn, il suffit de développer et de réduire :
=2+6(n1)=2+6n6=4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
La formule un=4+6nu_n=-4+6n est plus courte que la formule un=2+6(n1)u_n=2+6(n-1), mais l'avantage de la deuxième formule est de mettre en évidence le premier terme et la raison de la suite.

À vous !

Un dernier exercice

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