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Algèbre II

Cours : Algèbre II > Chapitre 8

Leçon 2: Définir une suite arithmétique

Établir la formule de récurrence qui définit une suite arithmétique

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Par exemple, comment établir la formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7.....

Prérequis : Définir une suite arithmétique par une formule.

Retour sur la formule de récurrence

La formule de récurrence donne deux informations :

Le premier terme de la suite
La règle qui permet de déduire un terme de la suite du terme précédent

La formule de récurrence qui définit la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point est :

\begin{cases}a(1) = 3&\leftarrow\gray{\text{le premier terme est 3}}\\\\ a(n+1) = a(n)+2&\leftarrow\gray{\text{on ajoute 2 au terme précédent}} \end{cases}

Dans cette formule, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et a, start subscript, n, end subscript est le terme de rang n. a, start subscript, 1, end subscript est le premier terme et a, start subscript, n, plus, 1, end subscript est le terme qui suit le terme a, start subscript, n, end subscript.

Pour obtenir a, start subscript, 5, end subscript, on doit calculer tous les termes précédents :

a, left parenthesis, n, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis, plus, 2
a, left parenthesis, 1, right parenthesis			equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f
a, left parenthesis, 2, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, plus, 2	equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff
a, left parenthesis, 3, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #aa87ff, 5, end color #aa87ff, plus, 2	equals, start color #11accd, 7, end color #11accd
a, left parenthesis, 4, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #11accd, 7, end color #11accd, plus, 2	equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10
a, left parenthesis, 5, right parenthesis	equals, a, left parenthesis, 4, right parenthesis, plus, 2	equals, start color #e07d10, 9, end color #e07d10, plus, 2	equals, 11

Donc a, start subscript, 5, end subscript, equals, 11.

À vous !

1) Quelle est la valeur de b, start subscript, 4, end subscript si la définition de la suite left parenthesis, b, right parenthesis est :

\begin{cases}b_1=-5\\\\ b_{n+1} = b_{n}+9 \end{cases}

b, start subscript, 4, end subscript, equals

Etablir la formule de récurrence qui définit la suite

On veut écrire la formule de récurrence qui définit la suite arithmétique 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point

Les deux parties de la formule doivent donner :

Le premier terme qui est start color #0d923f, 5, end color #0d923f
La règle qui permet de passer d'un terme de la suite au suivant qui est : "ajouter start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6".

Donc la formule est :

\begin{cases}c(1)=\greenE 5\\\\ c(n+1) = c(n)\maroonC{+3} \end{cases}

À vous !

2) Quelle est la formule de récurrence qui définit la suite arithmétique 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point, question mark

(Choix A)
$\begin{cases}d_1=12\\\\ d_n=-5 \end{cases}$
(Choix B)
$\begin{cases}d_1=12\\\\ d_{n+1} = d_{n}+5 \end{cases}$
(Choix C)
$\begin{cases}d_1=12\\\\ d_{n+1} = d_{n}-5 \end{cases}$
(Choix D)
$\begin{cases}d_1=12\\\\ d_{n+1}=-5\times d_{n} \end{cases}$

3) Quelles sont les valeurs de A et de B dans la formule de récurrence qui définit la suite arithmétique 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, question mark

\begin{cases}e_1=A\\\\ e_{n+1} = e_{n}+B \end{cases}


A, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

4) Quelles sont les valeurs de A et de B dans la formule de récurrence qui définit la suite arithmétique minus, 1, comma, minus, 4, comma, minus, 7, comma, point, point, point, question mark

\begin{cases}u_1=A\\\\ u_{n+1} = u_{n}+B \end{cases}


A, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text	B, equals Votre réponse doit être un entier, comme 6 une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5 une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4 un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4 un nombre décimal, comme 0, comma, 75 un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Une question

5) La formule de récurrence qui définit la suite arithmétique left parenthesis, v, right parenthesis est :

\begin{cases}v_1=A\\\\ v_{n+1} = v_{n}+B \end{cases}

Quelle est la raison de la suite left parenthesis, v, right parenthesis, question mark

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