Établir la formule de récurrence qui définit une suite arithmétique

Par exemple, comment établir la formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7.....

Le principe

La formule de récurrence donne deux informations :
  1. Le premier terme de la suite
  2. La règle qui permet de déduire un terme de la suite du terme précédent
La formule de récurrence qui définit la suite 3,5,7,...3, 5, 7,... est :
{a1=3le premier terme est 3an+1=an+2on ajoute 2 au terme prcdenteˊeˊ\begin{cases}a_1 = 3&\leftarrow\gray{\text{le premier terme est 3}}\\\\ a_{n+1} = a_{n}+2&\leftarrow\gray{\text{on ajoute 2 au terme précédent}} \end{cases}
Dans cette formule, nn est un entier naturel supérieur ou égal à 11 et ana_n est le terme de rang nn. a1a_1 est le premier terme et an+1a_{n+1} est le terme qui suit le terme ana_n.
Pour obtenir a5a_5, on doit calculer tous les termes précédents :
an+1a_{n+1}=an+2=a_{n}+2
a1a_1=3=\greenE 3
a2a_2=a1+2=a_1+2=3+2=\greenE 3+2=5=\purpleC5
a3a_3=a2+2=a_2+2=5+2=\purpleC5+2=7=\blueD 7
a4a_4=a3+2=a_3+2=7+2=\blueD 7+2=9=\goldD9
a5a_5=a4+2=a_4+2=9+2=\goldD9+2=11=11
Donc a5=11a_5=11.

À vous !

Etablir la formule de récurrence qui définit une suite

On veut écrire la formule de récurrence qui définit la suite arithmétique 5,8,11,...5, 8, 11,...
Les deux parties de la formule doivent donner :
  • Le premier terme qui est 5\greenE 5
  • La règle qui permet de passer d'un terme de la suite au suivant qui est : "ajouter 3\maroonC{3}".
Donc la formule est :
{c1=5cn+1=cn+3\begin{cases}c_1=\greenE 5\\\\ c_{n+1} = c_{n}\maroonC{+3} \end{cases}

À vous !

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