Suites géométriques - les définitions

Pour faire le point.

Suite géométrique, formule explicite et formule de récurrence

Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant. Ce quotient constant s'appelle la raison de la suite.
Par exemple, la raison de cette suite géométrique est 22 :
×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\footnotesize\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
1,1,2,2,4,4,8,...8,...
Aussi bien la formule explicite que la formule par récurrence permettent de calculer le terme ana_n pour toute valeur de nn.
La formule explicite de la suite géométrique de premier terme a1=k\blueD{a_1= k} et de raison q\maroonC q est :
an=k×qn1a_n=\blueD k\times\maroonC q^{n-1}
Sa formule de récurrence est :
{a1=kan=an1×q\begin{cases}a_1= \blueD k \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC q \end{cases}

Calculer les termes d'une suite géométrique de proche en proche

Si les trois premiers termes d'une suite géométrique sont 54,1854,18 et 66, quel est le 4e4^e terme de la suite ? On voit que chacun des termes est égal au produit du terme précédent par 13\maroonC{\operatorname{}\dfrac{1}{3}} :
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,...6,...
Donc on multiplie le 3e3^e terme par la raison et on obtient 22 :
×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}×13\maroonC{\times\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
54,54,18,18,6,6,2,...2,...
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir la formule de récurrence qui définit la suite

Quelle est la formule de récurrence qui définit la suite géométrique de premier terme a1a_1, dont les trois premiers termes sont 54,1854, 18 et 6 ?6~? On sait que la raison de la suite est 13\maroonC{\operatorname{}\dfrac{1}{3}}. Le premier terme est 54\blueD{54}. Donc sa formule de récurrence est :
{a1=54an=an1×13\begin{cases}a_1 = \blueD{54} \\\\ a_n = a_{n-1}\times\maroonC{\dfrac{1}{3}} \end{cases}
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Etablir une formule explicite

Quelle est la formule explicite de la suite géométrique dont les trois premiers termes sont 54,1854, 18 et 66, si son premier terme est a1 ?a_1~? On sait que la raison de la suite est 13\maroonC{\operatorname{}\dfrac{1}{3}} et que son premier terme est a1=54\blueD{a_1=54}. Donc sa formule explicite est :
Pour tout n1n≥1, an=54×(13)n1a_n=\blueD{54}\times\left(\maroonC{\dfrac{1}{3}}\right)^{n-1}
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Chargement