Qu'est-ce qu'une suite arithmétique

Premiers pas dans le monde des suites.
Le seul prérequis indispensable est de savoir additionner des nombres relatifs.

Qu'est-ce qu'une suite ?

Voici des listes de nombres :
  • 3, 5, 7 ...
  • 21, 16, 11, 6 ...
  • 1, 2, 4, 8 ...
De telles listes s'appellent des suites. Un élément d'une suite est appelé un terme de la suite.
3, comma5, comma7, comma, point, point, point
\uparrow\uparrow\uparrow
1, start superscript, e, r, end superscript, space, t, e, r, m, e2, start superscript, e, end superscript, space, t, e, r, m, e3, start superscript, e, end superscript, space, t, e, r, m, e
Les termes des suites étudiées en mathématiques sont toujours liés par une règle.
Par exemple, dans la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point chacun des termes est égal à la somme de deux et du terme précédent :
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3, comma5, comma7, comma, point, point, point
Les trois petits points signifient que la suite ne se limite pas à ces trois termes mais qu'elle est constituée d'autant de termes que l'on veut.
S'il est possible de calculer autant des termes d'une suite que l'on veut, c'est grâce à la règle qui lie chacun des termes au terme suivant.
Par exemple, le quatrième terme de la suite précédente est 9, le cinquième terme est 11, etc.
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3, comma5, comma7, comma9, comma11, comma, point, point, point

A vous !

Quel est le 4, start superscript, e, end superscript terme de chacune de ces suites ?
Problem 1
Définition : chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de cinq.
+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}
3, comma8, comma13, comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma, point, point, point

Problem 2
Définition : chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de minus, 3.
3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
20, comma17, comma14, comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma, point, point, point

Problem 3
Définition : chacun des termes de la suite est égal au produit du terme précédent par 2.
×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
3, comma6, comma12, comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma, point, point, point

+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}+5\maroonC{+5\,\Large\curvearrowright}
3, comma8, comma13, commastart color greenD, 18, end color greenD, comma, point, point, point
3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
20, comma17, comma14, commastart color greenD, 11, end color greenD, comma, point, point, point
×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}×2\maroonC{\times 2\,\Large\curvearrowright}
3, comma6, comma12, commastart color greenD, 24, end color greenD, comma, point, point, point
Problem 4
Remettre les éléments de la deuxième colonne dans le bon ordre.
Suite
Définition
  • 4, comma, 11, comma, 18, comma, 25, comma, point, point, point
  • 40, comma, 20, comma, 10, comma, 5, comma, point, point, point
  • 100, comma, 96, comma, 92, comma, 88, comma, point, point, point
  • 4, comma, 12, comma, 36108, comma, point, point, point
  • On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 3.
  • On passe d'un terme au suivant en le divisant par 2.
  • On passe d'un terme au suivant en lui ajoutant 7.
  • On passe d'un terme au suivant en lui retranchant 4

Voici les quatre suites et leurs définitions :
+7\maroonC{+7\,\Large\curvearrowright}+7\maroonC{+7\,\Large\curvearrowright}+7\maroonC{+7\,\Large\curvearrowright}
4, comma11, comma18, comma25, comma, point, point, point
÷2\maroonC{\div 2\,\Large\curvearrowright}÷2\maroonC{\div 2\,\Large\curvearrowright}÷2\maroonC{\div 2\,\Large\curvearrowright}
40, comma20, comma10, comma5, comma, point, point, point
4\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}
100, comma96, comma92, comma88, comma, point, point, point
×3\maroonC{\times 3\,\Large\curvearrowright}×3\maroonC{\times 3\,\Large\curvearrowright}×3\maroonC{\times 3\,\Large\curvearrowright}
4, comma12, comma36, comma108, comma, point, point, point

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Dans beaucoup de ces exemples, on passe d'un terme au suivant en additionnant toujours le même nombre (parfois un nombre positif parfois un nombre négatif). Les suites de ce type sont appelées des suites arithmétiques.
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe.
Par exemple, la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, 9, comma, point, point, point est une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de 2.
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3, comma5, comma7, comma9, comma, point, point, point
La suite 21, comma, 16, comma, 11, comma, 6, comma, point, point, point est aussi une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de minus, 5.
5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}
21, comma16, comma11, comma6, comma, point, point, point
Mais la suite 1, comma, 2, comma, 4, comma, 8, comma, point, point, point n'est pas une suite arithmétique, car le deuxième terme est égal à la somme du premier terme et de 1 et le troisième terme est égal à la somme du deuxième terme et de 2.
+1\footnotesize\maroonC{+1\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
1, comma2, comma4, comma8, comma, point, point, point

A vous !

Problem 5
Cocher les suites arithmétiques.
Réponse(s) :
Réponse(s) :

Voici les quatre suites :
+4\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
11, comma15, comma19, comma23, comma, point, point, point
Chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de 4 donc c'est une suite arithmétique.
+1\maroonC{+1\,\Large\curvearrowright}+2\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+3\maroonC{+3\,\Large\curvearrowright}
0, comma1, comma3, comma6, comma, point, point, point
Il n'est pas vrai que chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe, donc ce n'est pas une suite arithmétique.
+6\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}+18\maroonC{+18\,\Large\curvearrowright}+54\maroonC{+54\,\Large\curvearrowright}
3, comma9, comma27, comma81, comma, point, point, point
Il n'est pas vrai que chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe, donc ce n'est pas une suite arithmétique.
9\maroonC{-9\,\Large\curvearrowright}9\maroonC{-9\,\Large\curvearrowright}9\maroonC{-9\,\Large\curvearrowright}
29, comma20, comma11, comma2, comma, point, point, point
Chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de minus, 9 donc c'est une suite arithmétique.
Problem 6
Le premier terme d'une suite arithmétique est 1. Quelle peut être sa définition parmi les quatre définitions ci-dessous ?
Réponse(s) :
Réponse(s) :

"On passe d'un terme au suivant en lui ajoutant 4" est une autre façon de dire que "chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de 4. Donc il faut cocher la première proposition.
+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
1, comma5, comma9, comma13, comma, point, point, point
De même, "On passe d'un terme au suivant en lui retranchant 4" est une autre façon de dire que "chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de minus, 4. Donc il faut cocher la troisième proposition.
4\footnotesize\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\footnotesize\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}4\footnotesize\maroonC{-4\,\Large\curvearrowright}
1, commaminus, 3, commaminus, 7, commaminus, 11, comma, point, point, point
En revanche si "on passe d'un terme au suivant en le multipliant par 4", la suite obtenue n'est pas une suite arithmétique :
+3\footnotesize\maroonC{+3\,\Large\curvearrowright}+12\footnotesize\maroonC{+12\,\Large\curvearrowright}+48\footnotesize\maroonC{+48\,\Large\curvearrowright}
1, comma4, comma16, comma64, comma, point, point, point
De même si "on passe d'un terme au suivant en le divisant par 4", la suite obtenue n'est pas une suite arithmétique :
34\footnotesize\maroonC{-\dfrac{3}{4}\,\Large\curvearrowright}316\footnotesize\maroonC{-\dfrac{3}{16}\,\Large\curvearrowright}364\footnotesize\maroonC{-\dfrac{3}{64}\,\Large\curvearrowright}
1, commastart fraction, 1, divided by, 4, end fraction, commastart fraction, 1, divided by, 16, end fraction, commastart fraction, 1, divided by, 64, end fraction, comma, point, point, point

La raison d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.
Par exemple, la raison de la suite 10, comma, 21, comma, 32, comma, 43, comma, point, point, point est 11 :
+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}
10, comma21, comma32, comma43, comma, point, point, point
La raison de la suite –2, –5, –8, –11 ... est minus, 3 :
3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
minus, 2, commaminus, 5, commaminus, 8, commaminus, 11, comma, point, point, point

A vous !

Problem 7
Quelle est la raison de la suite arithmétique 2, comma, 8, comma, 14, comma, 20, comma, point, point, point, space, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

On calcule la différence entre deux termes consécutifs :
+6\footnotesize\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}+6\footnotesize\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}+6\footnotesize\maroonC{+6\,\Large\curvearrowright}
2, comma8, comma14, comma20, comma, point, point, point
La raison de cette suite est 6.
Problem 8
Quelle est la raison de la suite arithmétique 5, comma, 2, comma, minus, 1, comma, minus, 4, point, point, point, space, question mark
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

On calcule la différence entre deux termes consécutifs :
3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
5, comma2, commaminus, 1, commaminus, 4, comma, point, point, point
La raison de cette suite est minus, 3.
Problem 9
Quelle est la raison de la suite arithmétique 1, comma, space, start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, comma, space, 2, comma, point, point, point, space, question mark
  • Votre réponse doit être
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4

On calcule la différence entre deux termes consécutifs :
+13\footnotesize\maroonC{+\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}+13\footnotesize\maroonC{+\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}+13\footnotesize\maroonC{+\dfrac{1}{3}\,\Large\curvearrowright}
1start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, commastart fraction, 5, divided by, 3, end fraction, comma2, comma, point, point, point
La raison de cette suite est 1, slash, 3.
Reflection question
On donne une suite arithmétique de raison négative. Quelles sont les propositions vraies ?
Réponse :
Réponse :

La raison de la suite est négative donc chacun des termes de la suite est inférieur au terme précédent. On en déduit que la suite est décroissante.
Certains termes de la suite peuvent être négatifs et d'autres positifs. Voici trois exemples de suites arithmétiques dont la raison est négative et qui comportent aussi bien des termes négatifs que des termes positifs :
1\footnotesize\maroonC{-1\,\Large\curvearrowright}1\footnotesize\maroonC{-1\,\Large\curvearrowright}1\footnotesize\maroonC{-1\,\Large\curvearrowright}
2, comma1, comma0, commaminus, 1, comma, point, point, point
5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}
7, comma2, commaminus, 3, commaminus, 8, comma, point, point, point
8\footnotesize\maroonC{-8\,\Large\curvearrowright}8\footnotesize\maroonC{-8\,\Large\curvearrowright}8\footnotesize\maroonC{-8\,\Large\curvearrowright}
3, commaminus, 5, commaminus, 13, commaminus, 21, comma, point, point, point
NB. Ces trois suites sont décroissantes.
Challenge problem
Soit la suite arithmétique de premier terme 10 et de raison minus, 7.
Quel est le quatrième terme de cette suite ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i

Sachant que le premier terme de la suite est 10 et que sa raison est minus, 7, on peut en déduire le quatrième terme :
7\footnotesize\maroonC{-7\,\Large\curvearrowright}7\footnotesize\maroonC{-7\,\Large\curvearrowright}7\footnotesize\maroonC{-7\,\Large\curvearrowright}
10, comma3, commaminus, 4, commaminus, 11, comma, point, point, point
Le quatrième terme de la suite est égal à minus, 11.

Quelle est la prochaine leçon ?