Qu'est-ce qu'une suite arithmétique

Premiers pas dans le monde des suites.
Le seul prérequis indispensable est de savoir additionner des nombres de signes quelconques.

Qu'est-ce qu'une suite ?

Voici des listes de nombres :
  • 3, 5, 7 ...
  • 21, 16, 11, 6 ...
  • 1, 2, 4, 8 ...
De telles listes s'appellent des suites. Un élément d'une suite est appelé un terme de la suite.
3,3,5,5,7,...7,...
\uparrow\uparrow\uparrow
1er terme\footnotesize 1^\text{er}\text{ terme}2e terme\footnotesize 2^\text{e}\text{ terme}3e terme\footnotesize 3^\text{e}\text{ terme}
Les termes des suites étudiées en mathématiques sont toujours liés par une règle.
Par exemple, dans la suite 3,5,7,...3,5,7,... chacun des termes est égal à la somme de deux et du terme précédent :
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3,3,5,5,7,...7,...
Les trois petits points signifient que la suite ne se limite pas à ces trois termes mais qu'elle est constituée d'autant de termes que l'on veut.
S'il est possible de calculer autant des termes d'une suite que l'on veut, c'est grâce à la règle qui lie chacun des termes au terme suivant.
Par exemple, le quatrième terme de la suite précédente est 99, le cinquième terme est 1111, etc.
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3,3,5,5,7,7,9,9,11,...11,...

À vous !

Quel est le 4e4^\text{e} terme de chacune de ces suites ?

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Dans beaucoup de ces exemples, on passe d'un terme au suivant en additionnant toujours le même nombre (parfois un nombre positif parfois un nombre négatif). Les suites de ce type sont appelées des suites arithmétiques.
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe.
Par exemple, la suite 3,5,7,9,...3,5,7,9,... est une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de 22.
+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}
3,3,5,5,7,7,9,...9,...
La suite 21,16,11,6,...21,16,11,6,... est aussi une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de 5-5.
5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}5\footnotesize\maroonC{-5\,\Large\curvearrowright}
21,21,16,16,11,11,6,...6,...
Mais la suite 1,2,4,8,...1,2,4,8,... n'est pas une suite arithmétique, car le deuxième terme est égal à la somme du premier terme et de 11 et le troisième terme est égal à la somme du deuxième terme et de 22.
+1\footnotesize\maroonC{+1\,\Large\curvearrowright}+2\footnotesize\maroonC{+2\,\Large\curvearrowright}+4\footnotesize\maroonC{+4\,\Large\curvearrowright}
1,1,2,2,4,4,8,...8,...

À vous !

La raison d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.
Par exemple, la raison de la suite 10,21,32,43,...10,21,32,43,... est 1111 :
+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}+11\footnotesize\maroonC{+11\,\Large\curvearrowright}
10,10,21,21,32,32,43,...43,...
La raison de la suite –2, –5, –8, –11 ... est 3-3 :
3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}3\footnotesize\maroonC{-3\,\Large\curvearrowright}
2,-2,5,-5,8,-8,11,...-11,...

À vous !

Quelle est la prochaine leçon ?

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