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Algèbre II
Cours : Algèbre II > Chapitre 8
Leçon 1: Suites arithmétiques- Définir une suite
- Qu'est-ce qu'une suite arithmétique
- Qu'est-ce qu'une suite arithmétique
- Déterminer les termes d'une suite arithmétique
- Calculer un terme d'une suite arithmétique donnée par ses premiers termes
- Utiliser la forme explicite d'une suite arithmétique
- Définir une suite arithmétique par une formule
- Exercice d'application : Suite arithmétique définie par une formule de récurrence
- Calculer un terme de rang donné d'une suite arithmétique de formule donnée
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique
Premiers pas dans le monde des suites.
Le seul prérequis indispensable est de savoir additionner des nombres de signes quelconques.
Qu'est-ce qu'une suite ?
Voici des listes de nombres :
- 3, 5, 7 ...
- 21, 16, 11, 6 ...
- 1, 2, 4, 8 ...
De telles listes s'appellent des suites. Un élément d'une suite est appelé un terme de la suite.
| 3, comma | 5, comma | 7, comma, point, point, point |
|---|---|---|
| \uparrow | \uparrow | \uparrow |
| 1, start superscript, start text, e, r, end text, end superscript, start text, space, t, e, r, m, e, end text | 2, start superscript, start text, e, end text, end superscript, start text, space, t, e, r, m, e, end text | 3, start superscript, start text, e, end text, end superscript, start text, space, t, e, r, m, e, end text |
Les termes des suites étudiées en mathématiques sont toujours liés par une règle.
Par exemple, dans la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point chacun des termes est égal à la somme de deux et du terme précédent :
| start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 3, comma | 5, comma | 7, comma, point, point, point |
Les trois petits points signifient que la suite ne se limite pas à ces trois termes mais qu'elle est constituée d'autant de termes que l'on veut.
S'il est possible de calculer autant des termes d'une suite que l'on veut, c'est grâce à la règle qui lie chacun des termes au terme suivant.
Par exemple, le quatrième terme de la suite précédente est 9, le cinquième terme est 11, etc.
| start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3, comma | 5, comma | 7, comma | 9, comma | 11, comma, point, point, point |
À vous !
Quel est le 4, start superscript, start text, e, end text, end superscript terme de chacune de ces suites ?
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique?
Dans beaucoup de ces exemples, on passe d'un terme au suivant en additionnant toujours le même nombre (parfois un nombre positif parfois un nombre négatif). Les suites de ce type sont appelées des suites arithmétiques.
Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe.
Par exemple, la suite 3, comma, 5, comma, 7, comma, 9, comma, point, point, point est une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de 2.
| start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3, comma | 5, comma | 7, comma | 9, comma, point, point, point |
La suite 21, comma, 16, comma, 11, comma, 6, comma, point, point, point est aussi une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de minus, 5.
| start color #ed5fa6, minus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, minus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, minus, 5, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 21, comma | 16, comma | 11, comma | 6, comma, point, point, point |
Mais la suite 1, comma, 2, comma, 4, comma, 8, comma, point, point, point n'est pas une suite arithmétique, car le deuxième terme est égal à la somme du premier terme et de 1 et le troisième terme est égal à la somme du deuxième terme et de 2.
| start color #ed5fa6, plus, 1, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 2, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 4, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1, comma | 2, comma | 4, comma | 8, comma, point, point, point |
À vous !
La raison d'une suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.
Par exemple, la raison de la suite 10, comma, 21, comma, 32, comma, 43, comma, point, point, point est 11 :
| start color #ed5fa6, plus, 11, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 11, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, plus, 11, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10, comma | 21, comma | 32, comma | 43, comma, point, point, point |
La raison de la suite –2, –5, –8, –11 ... est minus, 3 :
| start color #ed5fa6, minus, 3, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, minus, 3, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | start color #ed5fa6, minus, 3, \curvearrowright, end color #ed5fa6 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| minus, 2, comma | minus, 5, comma | minus, 8, comma | minus, 11, comma, point, point, point |
À vous !
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Dans l'exercice 5, la 3e suite me paraît être arithmétique puisque chacun des termes de la suite est égal au produit du terme précédent par 3. Les termes sont : 3, 9, 27, 81, ... -> 3*3=9 ; 3*9=27 ; 3*27=81. Pourquoi elle n'en est pas une dans ce cas ?
A moins que la raison soit uniquement une addition ou une soustraction mais si c'est la cas, je ne comprends pas l'exercice 3, la raison étant *2 ...(3 votes)
la raison d'une suite arithmétique peut uniquement être une addition ou une soustraction. c'est pour les suites géométriques que la raison sera une multiplication. :)(6 votes)
exercice 4 : il doit manquer certainement une virgule dans la dernière ligne du tableau c'est écrit 4,12,36108(4 votes)
L'erreur est corrigée.
La version corrigée devrait être en ligne, lundi.(1 vote)