Définir une suite arithmétique par une formule

Définir une suite arithmétique par une formule explicite ou par une formule de récurrence.

Pourquoi une formule ?

Dans la leçon précédente les suites traitées étaient données sous la forme :
3,5,7,...3, 5, 7,...
Dans cette leçon nous allons voir comment définir une suite par une formule de récurrence ou par une formule explicite. Dans les deux cas l'intérêt est de disposer d'une formule qui permet de calculer un terme quelconque de la suite.
Si nn est un entier naturel supérieur ou égal à 11, on note ana_n le terme de la suite de rang, (ou d'indice) nn, c'est-à-dire le nen^\text{e} terme de la suite. Par exemple, pour la suite arithmétique 3,5,7,...3,5,7,... :
nnana_n
Rangnen^\text{e} terme
1133
2255
3377
On va voir qu'une formule permet de calculer le terme ana_n quelle que soit la valeur de nn.

À vous !

Suite arithmétique définie par une formule de récurrence

La formule de récurrence donne deux informations :
  1. Le premier terme de la suite
  2. La règle qui permet d'obtenir un terme de la suite à partir du terme précédent
La formule de récurrence qui définit la suite 3, 5, 7,... est :
{a1=3le premier terme est 3an=an1+2on ajoute 2 au terme prcdenteˊeˊ\begin{cases}a_1 = 3&\leftarrow\gray{\text{le premier terme est 3}}\\\\ a_n = a_{n-1}+2&\leftarrow\gray{\text{on ajoute 2 au terme précédent}} \end{cases}
Pour obtenir a5a_5, on doit calculer tous les termes précédents :
an+1a_{n+1}=an+2  =a_{n}+2~~ si n1n≥1
a1a_1=3=\blueD3
a2a_2=a1+2=a_1+2=3+2=\blueD3+2=5=\purpleC5
a3a_3=a2+2=a_2+2=5+2=\purpleC5+2=7=\greenD7
a4a_4=a3+2=a_3+2=7+2=\greenD7+2=9=\goldD9
a5a_5=a4+2=a_4+2=9+2=\goldD9+2=11=11
On obtient bien la suite 3, 5, 7, ...

À vous !

Voici trois exercices pour vous entraîner.
On a noté ana_n le terme de rang nn de la suite arithmétique 3,5,7,... On peut utiliser d'autres lettres pour désigner les termes d'une suite, par exemple, bnb_n, cnc_n, ou dnd_n.

Suite arithmétique définie par une formule explicite

Une formule explicite qui définit la suite de premier terme a1a_1 et dont les 33 premiers termes sont 3,53, 5 et 77 est :
an=3+2(n1)a_n=3+2(n-1)
Pour trouver un terme de rang donné ii, il suffit de remplacer nn par ii dans la formule.
Par exemple, pour calculer le cinquième terme, on remplace nn par 55 :
a(5)=3+2×(51)=3+2×4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2×(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\times4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
On obtient bien la bonne valeur !

À vous !

Les suites sont des fonctions

Une suite est une fonction qui au nombre naturel nn fait correspondre un nombre noté ana_n.
nn est toujours un entier naturel. nn représente le numéro d'ordre d'un terme de la suite, donc il ne peut être ni un nombre négatif, ni un décimal.
Autrement dit, l'ensemble de définition d'une suite est l'ensemble des entiers naturels.

Une remarque à propos de la notation

Pour désigner le 4e4^\text{e} terme de la suite, on a utilisé la notation a4a_4, Pour désigner ce terme, vous rencontrerez aussi la notation a(4)a(4).
Les deux notations sont possibles. Certains préfèrent la notation a(n)a(n) à la notation ana_n car elle met bien en évidence qu'une suite est une fonction.

Une question

Un dernier exercice

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