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Cours : Algèbre II > Chapitre 9

Leçon 2: Systèmes d'équations équivalents et résolution par addition ou combinaison

Systèmes d'équations équivalents - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Deux systèmes d'équations sont équivalents s'ils ont les mêmes couples solutions.

Si on multiplie les deux membres de l'une des équations par le même nombre, le nouveau système obtenu est équivalent au système donné. Si on remplace l'une des équations par la somme des deux équations données, le nouveau système obtenu est lui aussi équivalent au système donné.

Etant donnés deux systèmes, si on peut trouver un couple solution du premier système qui n'est pas solution du deuxième, alors les deux systèmes ne sont pas équivalents.

Quand on résout un système, il faut toujours veiller à ce que les différents systèmes que l'on obtient à chacune des étapes de la résolution soient équivalents.

Exemple 1

Ces deux systèmes sont-ils équivalents ?

Système A	Système B
$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}$ ‍	$\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 3 x - 4 y = 2 \end{array}$ ‍

Si on multiplie les deux membres de la deuxième équation du système B par

3

, on obtient :

\begin{aligned} 3 x - 4 y & = 2 \\ 3 (3 x - 4 y) & = 3 \times 2 \\ 9 x - 12 y & = 6 \end{aligned}

Le système B devient :

\begin{array}{r} - 12 x + 9 y = 7 \\ 9 x - 12 y = 6 \end{array}

Donc en multipliant les deux membres de la deuxième équation du système B par

3

, on obtient le système A. Les deux systèmes sont équivalents.

Exemple 2

Ces deux systèmes sont-ils équivalents ?

Système A	Système B
$\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}$ ‍

Si on additionne les deux équations du système A, on obtient :

\begin{aligned} - 9 x - 4 y & = 5 \\ + 2 x + 5 y & = - 4 \\ - 7 x + y & = 1 \end{aligned}

On obtient un système équivalent, en remplaçant la première équation du système par cette nouvelle équation. On obtient :

\begin{aligned} - 7 x + y & = 1 \\ 2 x + 5 y & = - 4 \end{aligned}

Donc en additionnant les deux équations du système A, on obtient le système B. Les deux systèmes sont équivalents.

Exemple 3

Montrer qu'il existe au moins un couple qui est solution de l'un des systèmes et qui n'est pas solution de l'autre et en déduire que ces deux systèmes ne sont pas équivalents.

Système A	Système B
$\begin{aligned} - 4 x + 10 y & = 1 \\ - x - 2 y & = - 3 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} - 9 x - y & = 8 \\ - x - 2 y & = 4 \end{aligned}$ ‍

Dans les deux systèmes, le premier membre de la deuxième équation est

- x - 2 y

. Mais dans le système A, le deuxième membre est

- 3

, alors que dans le système B, le deuxième membre est

4

Aucun couple solution de l'équation

- x - 2 y = - 3

n'est solution de l'équation

- x - 2 y = 4

Par exemple, le couple

(1; 1)

est solution de la deuxième équation du système A, mais n'est pas solution de la deuxième équation du système B.

Les systèmes ne sont pas équivalents.

À vous !

Exercice 1

Elsa et Olivier ont commencé à résoudre le système ci-dessous. On donne les systèmes qu'ils ont obtenu après avoir transformé le système donné.

	Système à résoudre
	$5 x + 3 y = - 1$ ‍
	$4 x - 9 y = 8$ ‍
Elsa		Olivier
$4 x - 9 y = 8$ ‍		$15 x + 9 y = - 3$ ‍
$9 x - 6 y = 7$ ‍		$4 x - 9 y = - 5$ ‍

Lequel a obtenu un système équivalent au système à résoudre ?
Rappel : deux systèmes sont équivalents s'ils ont le même ensemble de couples solutions.

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