Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ? Comment déduire de cette équation de la droite son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine ? Comment établir l'équation réduite d'une droite ?

Prérequis :

  • Vous connaissez les équations du premier degré à deux inconnues. Vous savez que les couples-solutions d'une telle équation sont les coordonnées des points d'une droite. Si vous voulez un petit rappel, regardez cette vidéo.
  • Vous savez déterminer les points d'intersection d'une droite avec les axes. À défaut, reportez-vous à cette vidéo. Vous savez ce qu'est le coefficient directeur d'une droite. Reportez-vous si besoin à cette vidéo.

Le sujet traité

  • Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ?
  • Comment déduire de l'équation réduite d'une droite son coefficient directeur et son point d'intersection avec l'axe des yy ?
  • Comment établir l'équation réduite d'une droite dont on connaît le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine ?

Qu'appelle-t-on l'équation réduite d'une droite ?

L'équation réduite d'une droite, non parallèle à l'axe des yy, est de la forme :
y=mx+b\Large y=\maroonC{m}x+\greenE{b}
m\maroonC{m} et b\greenE{b} sont deux nombres réels. Voici trois exemples d'équations réduites :
  • y=2x+1y=2x+1
  • y=3x+2,7y=-3x+2{,}7
  • y=10100xy=10-100x
Voici des équations de droite qui ne sont pas des équations réduites.
  • 2x+3y=52x+3y=5
  • y3=2(x1)y-3=2(x-1)
  • x=4y7x=4y-7
Une droite a autant d'équations que l'on veut... La plus simple de toutes est son équation réduite.

Les coefficients mm et bb

L'équation réduite d'une droite a le mérite d'être simple, mais ce n'est pas son seul mérite, elle donne directement les caractéristiques de la droite :
  • m\maroonC{m} est le coefficient directeur de la droite.
  • b\greenE{b} est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. b\greenE{b} est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite.
Par exemple, pour la droite d'équation y=2x+1y=\maroonC{2}x\greenE{+1}, le coefficient directeur est 2\maroonC{2} et l'ordonnée à l'origine est 1\greenE{1}.
C'est là tout l'intérêt de l'équation réduite !

À vous !

Justification

Comment justifie-t-on que le coefficient directeur est m\maroonC{m} et que l'ordonnée à l'origine est b ?\greenE{b}~?
Il n'y a rien de magique ! D'ailleurs en Math, il n'y a jamais rien de magique, tout est démontrable. Voici une explication à partir de l'équation : y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1}.

L'ordonnée à l'origine b\greenE{b}

Tout point de l'axe des yy a comme abscisse 00. Donc pour trouver l'ordonnée du point d'intersection de la droite d'équation y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} avec l'axe des yy, il suffit de remplacer xx par 00 dans l'équation de droite :
y=2x+1=2×0+1on remplace x par 0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\times 0+\greenE{1}&\gray{\text{on remplace }x ~par ~0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Le couple de coordonnées du point d'intersection de la droite avec l'axe des yy est donc (0 ;1)(\maroonC{0}~;\greenE{1}).

Le coefficient directeur m\maroonC{m}

Le coefficient directeur d'une droite, appelé aussi sa pente, est le quotient de la différence entre deux valeurs de yy par la différence entre les valeurs correspondantes de xx. Si P1(x1 ;y1)P_1({x_1~;y_1}) et P2(x2 ;y2)P_2({x_2~;y_2}) sont deux points quelconques de la droite, alors par définition :
Coefficient directeur=y2y1x2x1\text{Coefficient directeur}=\dfrac{\text{}y_2-y_1}{\text{}x_2-x_1}
Si x2x1=1x_2-x_1= 1, alors y2y1y_2-y_1 est le coefficient directeur de la droite.
Coefficient directeur=y2y11\text{Coefficient directeur}=\dfrac{\text{}y_2-y_1}{\text{}1}
Voici un tableau de valeurs de y=2x+1y=\maroonC{2}x+\greenE{1} lorsque xx prend les valeurs 0,1,2,30,1,2,3 et 44.
xxyy
001+0×2\greenE{1}+0\times\maroonC{2}=1= \greenE{1}
111+1×2\greenE{1}+1\times\maroonC{2}=1+2=\greenE{1}+\maroonC{2}
221+2×2\greenE{1}+2\times\maroonC{2}=1+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
331+3×2\greenE{1}+3\times\maroonC{2}=1+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
441+4×2\greenE{1}+4\times\maroonC{2}=1+2+2+2+2=\greenE{1}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}+\maroonC{2}
Si xx augmente de 11, alors yy augmente de 2\maroonC{2}. Donc si xx augmente de zz, alors yy augmente de 2\maroonC{2} fois zz.
Le coefficient directeur de la droite est 2\maroonC{2}.
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