Il s'agit d'établir l'équation réduite d'une droite connaissant deux points.

Établir l'équation d'une droite connaissant son ordonnée à l'origine et un autre point

Nous allons établir l'équation réduite de la droite passant par les points de coordonnées (0;3)(0\,;3) et (2;7)(2\,;7).
On rappelle que l'équation réduite de la droite de coefficient directeur start color maroonC, m, end color maroonC et d'ordonnée à l'origine start color greenE, b, end color greenE est y, equals, start color maroonC, m, end color maroonC, x, plus, start color greenE, b, end color greenE.

On détermine start color greenE, b, end color greenE

Le point d’intersection de la droite avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;3)(0\,;\greenE{3}), donc start color greenE, b, end color greenE, equals, start color greenE, 3, end color greenE.

On détermine start color maroonC, m, end color maroonC

Le coefficient directeur d'une droite, est le quotient d'une variation de y par la variation de x correspondante. Si P1(x1;y1)P_1({x_1\,;y_1}) et P2(x2;y2)P_2({x_2\,;y_2}) sont deux points de la droite, alors par définition :
C, o, e, f, f, i, c, i, e, n, t, space, d, i, r, e, c, t, e, u, r, equals, start fraction, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end fraction
On connait deux points de la droite de coordonnées (0;3)(0\,;3) et (2;7)(2\,;7), donc :
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, 2, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 3, end color greenE.

A vous !

1) Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

Le point d’intersection de la droite avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;5)(0\,;\greenE{5}), donc start color greenE, b, end color greenE, equals, start color greenE, 5, end color greenE.
Connaissant deux points de la droite, on calcule son coefficient directeur :
m=(9)(5)(4)(0)=44=1\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{(9)-(5)}{(4)-(0)}\\\\\\ &=\dfrac{4}{4}\\\\\\ &=\maroonC{1}\end{aligned}
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, 1, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 5, end color greenE.
2) Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

Le point d’intersection de la droite avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0;8)(0\,;\greenE{8}), donc start color greenE, b, end color greenE, equals, start color greenE, 8, end color greenE.
Connaissant deux points de la droite, on calcule son coefficient directeur :
m=(2)(8)(3)(0)=63=2\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{(2)-(8)}{(3)-(0)}\\\\\\ &=\dfrac{-6}{3}\\\\\\ &=\maroonC{-2}\end{aligned}
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, minus, 2, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 8, end color greenE.

Établir l'équation d'une droite dont on connaît deux points


Nous allons établir l'équation réduite de la droite passant par les points de coordonnées (2;5)(2\,;5) et (4;9)(4\,;9).
Nous ne connaissons pas l'ordonnée à l'origine, donc c'est moins simple que dans le cas précédent.

On détermine start color maroonC, m, end color maroonC

On détermine start color greenE, b, end color greenE

L'équation est donc de la forme y, equals, start color maroonC, 2, end color maroonC, x, plus, start color greenE, b, end color greenE. Pour trouver start color greenE, b, end color greenE, on utilise le point de la droite de coordonnées (2;5)(2\,;5).
Si un point A de coordonnées left parenthesis, x, start subscript, A, end subscript, space, comma, y, start subscript, A, end subscript, right parenthesis appartient à une droite d'équation y, equals, m, x, plus, start color greenE, b, end color greenE, alors ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.
Utiliser le point de coordonnées (2;5)(2\,;5) signifie remplacer x par 2 et y par 5 dans l'équation d'inconnue b.
Les coordonnées d'un pont d'une droite vérifient l'équation de cette droite. Donc, si dans l'équation de la droite on remplace x et y par les coordonnées du point, on obtient une égalité vraie.
Par exemple, le point de coordonnées (3;1)(3\,;1) est sur la droite d'équation y, equals, x, minus, 2. Si on remplace x par 3 et y par 1 dans l'équation, l'égalité est vérifiée.
y=x21=32 1=1\begin{aligned}y&=x-2\\\\ 1&=3-2&\small\gray{\text{}\text{ }}\\\\ 1&=1 \end{aligned}
Si on doit déterminer start color greenE, b, end color greenE connaissant le coefficient directeur, il suffit de connaître un autre point de la droite.
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, 2, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 1, end color greenE.

A vous !

3) Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

D'abord, on calcule son coefficient directeur :
m=10431=62=3\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{10-4}{3-1}\\\\\\ &=\dfrac{6}{2}\\\\\\ &=\maroonC{3}\end{aligned}
On obtient l'équation réduite : y, equals, start color maroonC, 3, end color maroonC, x, plus, start color greenE, b, end color greenE.
Ensuite, on remplace x par 1 et y par 4 dans l’équation pour trouver start color greenE, b, end color greenE :
y=3x+b4=3×1+b  4=3+b1=b\begin{aligned}y&=\maroonC{3}x+\greenE{b}\\\\ 4&=\maroonC{3}\times 1+\greenE{b}&\small\gray{\text{ }\text{ }}\\\\ 4&=3+\greenE{b}\\\\ \greenE{1}&=\greenE{b} \end{aligned}
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, 3, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 1, end color greenE.
4) Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

D'abord, on calcule son coefficient directeur :
m=1942=82=4\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{1-9}{4-2}\\\\\\ &=\dfrac{-8}{2}\\\\\\ &=\maroonC{-4}\end{aligned}
On obtient l'équation réduite : y, equals, start color maroonC, minus, 4, end color maroonC, x, plus, start color greenE, b, end color greenE.
Ensuite, on remplace x par 2 et y par 9 dans l’équation pour trouver start color greenE, b, end color greenE :
y=4x+b9=4×2+b 9=8+b17=b\begin{aligned}y&=\maroonC{-4}x+\greenE{b}\\\\ 9&=\maroonC{-4}\times 2+\greenE{b}&\small\gray{\text{}\text{ }}\\\\\\\\ 9&=-8+\greenE{b}\\\\ \greenE{17}&=\greenE{b} \end{aligned}
Donc, l'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, minus, 4, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 17, end color greenE.

Un dernier exercice

Une droite passe par les points de coordonnées (5;35)(5\,;35) et (9;55)(9\,;55).
Quelle est l'équation réduite de cette droite ?
 

D'abord, on calcule son coefficient directeur :
m=553595=204=5\begin{aligned}\maroonC{m}&=\dfrac{55-35}{9-5}\\\\\\ &=\dfrac{20}{4}\\\\\\ &=\maroonC{5}\end{aligned}
Donc, l'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, 5, end color maroonC, x, plus, start color greenE, b, end color greenE.
Ensuite, on remplace x par 5 et y par 35 dans l’équation pour trouver start color greenE, b, end color greenE :
y=5x+b35=5×5+b 35=25+b10=b\begin{aligned}y&=\maroonC{5}x+\greenE{b}\\\\ 35&=\maroonC{5}\times 5+\greenE{b}&\small\gray{\text{}\text{ }}\\\\ 35&=25+\greenE{b}\\\\ \greenE{10}&=\greenE{b} \end{aligned}
L'équation réduite de cette droite est : y, equals, start color maroonC, 5, end color maroonC, x, start color greenE, plus, 10, end color greenE.