Identités remarquables

je voudrais faire plusieurs exercices sur des des cas de multiplication quand on rencontre régulièrement des multiplications de polynôme bon je vais faire des exemples avec des cas qu'on rencontre vraiment très souvent alors le premier par exemple c'est ça c'est un le carré un carré d'impôt d'un binôme x + 9 au carré alors je sais je sais que il ya plein de gens qui sont tentés de répondre que ça c'est x au carré +9 au carré mais ça c'est absolument faux il faut vraiment absolument résister à cette tentation là c'est pas du tout vrai donc il faut absolument pas écrire ça c'est faux et on va voir pourquoi on va on va le développer alors pour ça en fait ce qu'il faut faire absolument première étape c'est de revenir après on pourra passer cette étape mais pour ne pas se tromper au début s'il faut passer par cette étape qu'est ce que ça veut dire que élevée au carré quelque chose ça veut dire qu'on multiplie par lui-même donc là on a x + 9 qu'on élève au carré donc ça veut dire qu'on multiplie x + 9 par lui-même donc x + 9 au carré c'est égal c'est la même chose que x + 9 x x + 9 voilà donc là il faut développer cette expression là en utilisant alors on peut le faire en utilisant la distributive it et en écrivant les les différents produits là je vais le faire avec la technique qu'on a déjà utilisé ce succès c'est la même chose mais c'est une présentation différente la technique qu'on a utilisé dans d'autres vidéos donc c'est x + 9 x x + 9 et puis ça je vais l'écrire avec d'autres coups avec comme ça en posant l'opération comme on fait avec avec des nombres donc là en fait j'utilise des couleurs parce que la première ligne je vais faire 9 x x + 9 je vais multiplier x + 9 parce 9 qui est en rose l'a donc quand je fais ça je fais d'abord 9 x 9 ça fait 81 et puis 9 x x ça fait 9 fixe donc là quand je fais une x + 9 x 9 c'est neuf fixe + 81 ensuite je vais faire envers que je vais multiplier sous x + 9 qui est la part fixe maintenant donc l'obtient d'abord x x 9 c'est-à-dire 9,6 alors ça je le mets dans la colonne des x ici fixe et puis x x x c'est-à-dire x au carré que je mets dans la colonne des xo carey qui pour l'instant est évident c'est cette colonne voilà alors maintenant je vais additionné aux colonnes un terme à terme en colonne donc ici j'ai 81 +0 ça fait 81 c'est le seul terme en constante là je vais additionner les termes en x alors g9x + 9 x en fait ça fait 2 x 9 x c'est-à-dire deux fois 9 18 donc les 18 x ici et puis je se hisse au carré qui est tout seul donc je vais donc x au carré plus 18 x puisque 80 voilà ça c'est le résultat de la multiplication de l'élévation au carré de x + 9 donc c'est le résultat de x + 9 x x + 9 voilà donc x + 9 au carré ça fait donc x o car est plus 18 x + 81 alors bon il faudrait qu'on va regarder un petit peu ce résultat là parce que ce qu'on voit c'est qu'il ya ce x x 6 x qui donne ce x au carré c'est ça c'est x x x on l'a on retrouve ici et puis il ya le 9 x 9 9 la fois ce neuf là ça on le retrouve ses neuf aux caresses et 90 mais c'est pas le réflexe que beaucoup de gens ont de dire que c'est x au carré +9 au carré puisque il ya ce terme là aussi ce terme là 18x ici alors celui là comment est ce qu'on obtient eh ben on l'obtient en faisant ce 9 x x ici et puis ce 9 x x ici donc en fait en obtient 9 ticks +9 fixe c'est à dire deux fois 9 x 2 x 9 x est ce qu'on obtient ici en faisant là l'addition 9 ticks +9 6 c'est à dire deux fois 9 fixe donc ça c'est le c'est un terme qu'on appelle le double produit parce que ces deux fois le produit de x et 2,9 alors je vais le faire ça d'une manière la plus générale possible quand on fait a + b au carré a + b au cas rsa c'est vraiment dans le cas très généralement je vais faire je vais le faire avec cette technique là donc je vais garder une idée d'un termes constants et d'un terme avec des x variable donc je vais faire comme ça x + b au carré alors ça je vais l'écrire donc ça c'est x + b x x + b un tel que l'élévation au carré c'est une manière plus courtes d'écrire que ces x + b x x lui même donc ça je vais le présenter comme tout à l'heure x plus béat je vais utiliser des couleurs pour le 2ème x + b alors maintenant je vais déjà faire b x b alors ici oui gb fois bessat fait mais au carré et puis gb x x donc les en fait la cbf ou quand je fais b fois le produit l'apparentent asics plus b ça me fait b x x + b o car est ce qui est écrit ici ensuite la je fais x x b x x bessette bx cd x x 1 c'est pas la même chose et puis j'ai x x x qui est x au carré donc maintenant je peux faire l'addition colonnes donc là j'ai d'abord ce bo carré ici est tout seul c'est le terme constants l'âge et les termes avec dxb x + b x ça c'est quoi ces deux fois bx donc c2box plus bu au carré et puis je sais x au carré qui est ici voilà donc j'obtiens x carré plus de bx plus bo carré et voilà ça c'est ce que je disais tout à l'heure c'est le double produits de bi foua xcom sont là x + b au carré c'est le double produits de b x x alors non terme plus générale un canton fait a + b o car est encore plus générale sans parler de x s'est hissé à au carré plus le double produit de a et b donc deux fois ab plus des au carré le carré de a + le double produit plus le carré de b voilà ça c'est vraiment le cas très général alors maintenant je vais en faire un autre monde utilisant la méthode rapide sommes donc je vais appliquer cette formule directement alors je vais prendre par exemple on va dire ce binôme la 3x -7 que j'élève au carré donc je vais essayer de développer de simplifier sa 3 x - sept au carré alors j'ai ici ce ce terme là je vais considérer comme notre a donc je dois avoir 3 x aux caresses acea au carré plus deux fois à x b alors à ses 3 x et bc - 7 1 donc c'est plus de fois acquis et 3 xx x beke -7 bien faire attention à bien prendre le moins quand on dit 3x -7 en fait c'est 3x plus le nombre moins sept le nombre négatif - cette voie là alors ensuite il nous manque le terme b au carré ça c'est le double produit deux fois à x b et il nous manque le terme b au carré alors bo carré c'est moins sept au carré recettes le taux au carré puisque b on a dit que c'est moins cette voie là alors maintenant je vais développer tous à 3x aux caresses a fait 3 au carré x x au carré trois quarts et ça fait neuf donc l'une 9x au carré ici plus ici alors ces 2 x 3 x fois moins 7 donc si on peut le faire comme ça c'est deux fois trois fois moins 7 2 fois 3 ça fait 6 6 soit -7 ça fait moins 42 donc j'ai moins 42 x voilà plus -7 o car est donc moins sept au carré ça fait moins sept fois moins 7 donc ça fait 7 x 7 puisque - fois moins ça fait plus donc ça fait 49 7 x 7 49 voilà là on a appliqué directement cette formule et on a trouvé ce résultat-là 3x -7 le tocard et ses 9 x au carré - 42 x + 49 alors quand même là je vais le faire je vais je vais recale culé ça en allant moins vite en reposant l'opération comme je lé fais tout à l'heure pour être sûr que ça marche et pour que tu comprennes bien ce qui se passe alors je vais la pause et donc ses 3 x - 7 et puis je vais utiliser des couleurs pour le deuxième terme donc 3 x - 7 comme tout à l'heure alors je vais d'abord faire moins 7 x 3 x - 7 1 je vais faire d'abord moins cette fois - 7 - cette fois moins sept ça fait quarante neuf donc ça fait plus 49 places et moins fois moins donc ça fait plus +49 ici j'ai moins 7 x 3 x - cette fois 3 ça fait moins 21 x 7 x 3 x voilà ça c'est la première ligne la deuxième ligne je fais 3 x alors je vais prendre le verre 3 x fois moins 7 ça fait moins 21 x je le mets ici dans la colonne des x des termes en x et puis 3 x x 3 x ça fait 9 x car et voilà et maintenant j'additionne en colonne donc ici j'ai ce 49 l'ag - 21 x - 21 x ça fait moins 40 2 x donc là j'ai un plus et puis enfin gse 9x carré donc ça me donne 9 x carré - 42 x + 49 voilà et là on a vérifié qu'on obtient exactement la même chose en posant l'opération ce qui prend un petit peu plus de temps mais qui a le mérite de bien faire comprendre ce qu'on fait bon je vais en faire encore un alors par exemple je vais faire ça 8x moins 7 non en fait je veux faire quelque chose d'un peu plus un peu différent un petit peu plus compliqué peut-être avec plus de variables par exemple on va faire on va prendre ce binôme la 4x au carré plus y au carré donc avec deux variables et on va l'élever au carré voilà c'est peut-être un petit peu peur mais en fait il suffit d'appliquer exactement le même principe la même formule que tout à l'heure et ça va aller comme sur des roulettes alors par exemple là je veux dire que ça ce terme là 4x aux caresses acea et ça y au carré cb donc je vais appliquer ça je veux d'abord avoir à au carré c'est donc 4 x au carré le tout aux quarts et un ca ca que je lève au carré plus deux fois le produit de a à x b donc plus 2 alors assez 4x aux caresses à ces deux fois à x b qui est y au carré voilà et puis enfin j'ajoute le terme b au cas et donc bo caresser y y au carré sa cb que j'élève au carré voilà maintenant je vais faire les simplifications enfin j'ai calculé tout ça ici 4x au carré alors ses c4 au carré ça fait 16 4 caresser 4 x 4 ça fait 16 x x au carré au carré donc cx puissance 4 x puissance 4 cx au carré x x au carré donc c'est x puissance 2 x x puissance 2 donc cx puissance de plus 2 c'est-à-dire x puissance 4 voilà plus alors ici j'ai deux fois 4 ça fait déjà huit sa x x au carré x y au carré voilà et puis enfin le dernier terme c'est y au carré au carré donc c'est y haut careï faut y au carré donc c'est y puissance 2 + 2 c'est-à-dire y puissance 4 voilà là on a terminé celui-ci alors je vais en faire un autre alors je vais déplacer tout ça pour l'instant on a lancé occupé de développer le carré d'un binôme on va faire là quelque chose d'un peu différent qui est très utile aussi on va s'occuper de quelque chose qui va être cette forme là un un produit de cette forme là je vais le faire d'une manière très générale on va s'occuper de ça comment comment faire quand on a un produit de ce genre là a + b fois à - b voilà alors ça ben je vais je vais le développer en utilisant la propriété distributive it et autant de fois qu'il faudra en fait je vais je vais l'écrire avec des couleurs donc ca - b a + b fois à - b voilà alors quand je vais développer ça je vais d'abord distribué ce à aux deux termes de la parenthèse violette donc ça me fait à d'abord à foix sera en violet donc à foix a plus à foix - b il faut faire attention à ces donc c'est moins à x b donc moins à foix le béquilles et en violet voilà ensuite je vais utiliser la propriété distributive it et en distribuant ce b je prends dans le jaune ce b qui est ici au terme de la parenthèse donc ça me fait alors plus b se produit la baie x ab fois le à qui et en violet voie la plus belle fois - b donc ça fait je sors le signe - - b fois le b kate kate en violet voilà - des x b alors là je vais simplifier tout ça donc là à foix a maintenant je vais utiliser le blanc le jaune ça la ca ca au carré - ab - à x b ici plus bab fois c'est la même chose que à foix b1 donc le peux écrire ça comme ça à au carré - ab plus ab - ici cb fois bcb au carré - b au carré alors qu'est ce qu'on voit ici c'est que cette fois ci on n'a pas de double produit puisque là on a moins à foix bplus à x b c'est-à-dire à x b - à x b c'est-à-dire 0 tout ça ces deux termes là il ça nul donc ça ça fait finalement il nous reste alors je vais mettre signe égal il nous reste à au carré - b o car est donc ça c'est un résultat vraiment c'est très net un très pratique quand on fait a + b fois à - b eh bien on obtient à au carré - b au carré donc là on a obtenu une formule 1 a + b x a moins baissé au carré - b au carré on va on va appliquer cette formule là je vais faire quelques exemples pour appliquer cette formule on va dire par exemple qu'on va faire ça 2x moins 1 x 2 x + 1 alors pourquoi est-ce qu'on peut appliquer la formule du dessus c'est parce que ici on a si on dit que assez 2x et bbc1 voilà donc ici on aa - b x a + b voila ca ca - b ici et ça c'est la plus belle donc tout à l'heure on s'était occupé de a + b x moimbé ici ca - b x a + b mais ça revient au même puisque a + b fois à mon bébé c'est la même chose que à moins d fois plus béton qu'on on est dans la bonne situation ici c'est à est ici c b donc là on a à un point b x a + b donc on peut appliquer la formule du dessus donc c'est le résultat de ça quand on développe en fait on obtient si on apprend on pourrait le faire 1 re développer en utilisant deux fois la distributive ite mais on peut appliquer directement la formule c'est à au carré donc assez 2x donc on a ici 2x au carré - b au carré bc1 donc moins un au carré voilà alors là je vais faire les calculs dont 2 x au carré c'est 2 2 x x 2 x donc ces 4 x au carré et un au carré c'est un donc on obtient finalement 4x au carré - 1 voilà c'est ce qu'on obtient facilement en utilisant directement cette formule alors maintenant je vais faire un autre exemple je vais prendre quelque chose qui est peut-être un peu plus complexe 5 à - 2 b 5 à moins de b x 5 à + 2 b voilà alors évidemment il faut bien se faire attention on peut pas toujours appliqué cette formule 1 ça dépend des binômes 7 cette formule là on peut l'appliquer uniquement quand on est dans le cas d'une somme somme de deux ter x la différence des deux mêmes termes donc ici il faut voir si on est bien dans ce cas là alors ici par exemple c'est un terme qu'on appelle grand ah on peut l'appeler granta ici ce serait un terme qu'on appelle grand baie là du coup dans la parenthèse on aurait grand tabou un grand b grand ac 5 ha et grands baissé de b et puis là on aurait ce grand a encore granta et puis de baisser grand baie donc on aurait encore une fois à moins dé foi a + b donc on est encore dans le cas de une différence fois une somme des 2 2 de deux mêmes termes donc on peut faire les calculs alors ça nous donne ce terme là au carré donc 5 à au carré - le deuxième terme au carré donc moins deux baies au carré et là je fais les calculs 5 ha aux caresses et 5 à x 5 a donc ses 25 ha au carré - de bo caresser 2b fois dub et donc ses quatre baies au carré et voilà on a terminé on a développé cette expression là alors bon ben on va s'arrêter là parce qu'on en a fait quand même pas mal on continuera dans d'autres vidéos