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La formule du changement de base

.
On cherche la valeur de log2(50). Or 50 n'est pas une puissance de 2, donc c'est difficile à calculer sans l'aide de la calculatrice.
Mais les calculatrices donnent les logarithmes décimaux (base 10) et les logarithmes népériens (base e). Donc pour calculer log2(50), il faut commencer par changer de base.

Formule de changement de base

On peut changer la base de tout logarithme grâce à cette formule :
Remarques :
  • La formule est valable quelle que soit la base x.
  • Les arguments sont positifs et les bases sont positives et différentes de 1.

Exemple : Calculer log2(50)

Pour pouvoir calculer un logarithme à la calculatrice, il faut changer de base en utilisant soit la base 10 ou la base e.
On change donc de base pour exprimer log2(50) en base 10.
On applique la formule de changement de base avec b=2, a=50 et x=10.
log2(50)=log10(50)log10(2)=log(50)log(2)car log10(x)=log(x)
Et on fait travailler la calculatrice :
log(50)log(2)5,644

À vous !

Exercice 1
Calculer log3(20).
Arrondir au millième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 2
Calculer log7(400).
Arrondir au millième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exercice 3
Calculer log4(0,3).
Arrondir au millième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

D'où vient cette formule de changement de base ?

Là, vous vous dites sûrement, "C'est génial ! Mais comment ça marche ?"
logb(a)=logx(a)logx(b)
On commence par un exemple. En utilisant la formule ci-dessus, on obtient que log2(50)=log(50)log(2).
On pose log2(50)=n. Par définition du logarithme de base 2, on en déduit que 2n=50. Puis :
2n=50log(2n)=log(50)si A=B, alorslog(A)=log(B)nlog(2)=log(50)n=log(50)log(2)on a divisé les deux membres parlog(2)
n=log2(50), donc log2(50)=logx(50)logx(2).
On démontre la formule de changement de base de la même façon. Il suffit de remplacer 2 par b et 50 par a et... c'est démontré !

D'autres exercices

Défi 1
Calculer log(81)log(3) sans calculatrice.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Défi 2
log(6)×log6(a) est égal à :
Choisissez une seule réponse :

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