Changement de base - exemples

alors j'ai noté ici deux expressions logarithmique deux expressions avec des logarithme 1 sur loeb en basse b24 qui est en jaune et puis celle ci en une sorte de orange comme ça log en basse est de 16 x log embase deux de ces alors j'aimerais bien que tu essayes toi-même de simplifier ses chacune de ces expressions de l'écrire d'une manière plus simple et bon je te donne un indice à une indication tu peux essayer d'utiliser la formule de changement de base logarithmique alors si tu veux je peux même te rappeler cette formule les préparer ici voilà alors ça c'est la formule du changement de base on a ici le gars rythmant base à 2 b et on sait que c'est égal au logarithme de b / le logarithme d'eux a alors là tu peut remarquer on a déjà vu cette formule est là tu peux très bien remarqué que j'ai pas préciser ici la base du logarithme que j'utilise et en fait ça pourrait être n'importe quelle base c'est à dire que je pourrais très bien avoir ici là lol le logarithme en basset et puis là aussi du coup ce serait le même logo la même base logarithme en bas c'est aussi donc cette relation est vrai pour n'importe quelle base est en fait dans les cas les plus fréquents on utilise la base dissout la base eux et quand on fait des calculs de tête il vaut mieux toujours utiliser la base 10 c'est celle qui est la plus facile à utiliser ce concerne les puissances de 10 et donc avec ça en tête essaye de simplifier ces deux expressions là alors déjà la première 1 sur le logarithme en basse b24 mais en fait donc celle inverse du logarithme en basse b24 alors si je prends cette cette relation là je peux écrire que le logarithme alors je vais le faire en rouge le logarithme en basse b24 eh bien je vais m'exprimer en fonction du logarithme en base 10 donc ça va être logarithme en base 10 donc j'ai même pas besoin de noter un quand on écrit log par défaut ça veut dire que c'est le logarithme en base 10 donc log de 4 logarithme de 4 / le logarithme de b voilà donc le logarithme ici je répète assez de logarithmes en base 10 alors ici c'est pas log en basse b24 que j'aime et celle inverse donc en fait si je prends la verse pas je vais pouvoir dire je vais inverser le numérateur et dénominateur c'est-à-dire logarithme 2b logarithme en base 10 2 b / le logarithme en base 10 2,4 alors peut s'arrêter là si on veut mais on peut aussi continuer remarqué quelque chose de très très très utiles et d'adp assez étonnant à première vue en tout cas c'est que là en fait j'ai log en base 10 2 b / log en base 10 2 4 et en fait ça je peux le réécrire comme logarithme en base 4 2 b voilà puisque si tu regarde ici tu remplaces petit à part iv et petits berrest petit b et y obtient qu'effectivement le logarithme en basse 4 2 b bien c'est le logarithme en base 10 2 b / le logarithme en base 10 2 4 ce qui est exactement l'expression qu'on avait ici voilà donc finalement on arrive à ça une expression beaucoup plus simple l'homme linverse du logarithme basse b24 c'est le logarithme 15 ans base 4 2 b et on peut remarquer quelque chose de très intéressant qu'on n'a pas vu ici et qui peut paraître un petit peu magique comme ça au départ c'est qu'en fait quand on prend le lendemain vers sedan logarithme en basse b eh bien ça revient à intervertir la base avec le nombre dont on prend le logarithme ici on prendre linverse du logarithme en basse b24 est en fait c'est le logarithme en basse 4 2 b alors je dis que ça peut paraître un peu magique effectivement comme ça mais si on prend quelques exemples concrets on va voir que ça s'éclaircit un petit peu par exemple si je prends 4 élevé à la puissance 3,4 au cube et bien c'est 16 x 4 c'est à dire ça fait soixante quatre 4 occupe ses 64 ce qui veut dire que si je prends le log en base 4 2 64 et bien c'est 3 voilà alors maintenant si pour je prends au contraire le log en base64 de 4 bien donc ça c'est la puissance à laquelle il faut élever 64 pour avoir 4 et donc ça c'est un tiers on peut écrire ça comme ça si j'élève cette relation là la puissance un tiers j'obtiens 4 élevé à la puissance 3 / 3 3 fois un tiers donc ça fait 4 élevé la puissance un égal à 64 élevé à la puissance un tiers donc finalement le logarithme en base64 de 4 c'est bien un tiers et tu vois que c'est de logarithmes là sont inverses l'un de l'autre donc voilà c'est un exemple concret qui démontre que effectivement c'est pas si magique que sam mais c'est intéressant de remarquer comme toute cette écriture de logarithmes est très cohérente voilà alors maintenant on va passer à la 2e expression celle ci logarithme en basse est de 16 x logarithme embase deux de ces alors là j'ai un produit de deux lots garric le premier est en bas c'est le deuxième en base 2 donc il va falloir toute façon changer la base des logarithme alors je pense que le plus simple ici ça va être d'aller exprimer tous les logarithmes ici en base 10 comme ça on aura une base commune alors je vais commencer avec cette expression là le logarithme en basset de 16 et je vais utiliser cette formule là c'est le logarithme je vais prendre le logarithme en base 10 donc c'est ce que je disais logarithme en base 10 de 16 / le logarithme en base 10 de ces voix là alors il se rappelle quand on ne précise pas la base du logarithme employés ça veut dire qu'on n'emploie la base 10 ensuite je vais multiples m'occuper de cette partie là le logarithme embase deux de ces et je vais l'exprimer en fonction de ba de logarithmes en base 10 donc c'est logarithme en base 10 de ces / le logarithme en base 10 2 2 donc là j'ai que des logarithme en base 10 si tu veux je peux le préciser un pour que ce soit plus clair mais c'est vraiment pas la peine de le faire puisque quand on parle de log c'est le logarithme jean bapstiste voilà en tout cas je le simplifie je le précise ici donc là j'ai ce produit et on peut faire des simplifications puisque ici j'ai logarithme en base 10 de ces et l'ag logarithme en base 10 2 c'est donc ces deux termes là vont se simplifier et il me reste alors je vais écrire comme ça il me reste le logarithme en base 10 logarithme en base 10 de 16 / le logarithme en base 10 2 2 logarithme en base 10 2 2 alors là déjà tu peux remarqué quelque chose c'est qu'on est parti d'une une expression dans laquelle il y avait une variable donc c'était quelque chose d'assez abstrait qui représentait un nombre variable alors que ici le petit c a disparu ça c'est quand même pas mal a remarqué parce que finalement ce nombre là bas c'est un nombre c'est une constante c'est pas quelque chose de variables donc on a en fait éliminer la variable c'est de cette expression là donc c'est déjà pas mal mais on peut aller un petit peu plus loin puisque là en fait on a quelque chose comme ça logarithme en base 10 16 / logarithme en base 10 2 2 est en fait c'est donc le logarithme en base 2 de 16 donc là en fait j'ai logarithme en base 2 de 16 qu'est-ce qui est une expression encore plus simple et en plus ce qui est très pratique c'est que celle là on peut très facilement l'évaluer on peut très facilement la calculer puisque c'est la puissance à laquelle il faut élever deux pour obtenir 16 et 2 élevé à la puissance 4 ça fait seize donc finalement ce logarithme en baisse de 2,16 et bien ces quatre voilà et ça c'est le résultat est là on a vraiment extrêmement se rectifier cette expression qui étaient quand même compliquées avec une variable et tout est en fait on la simplifier et même calcul et elle vaut 4