Le nombre 𝑒 comme limite d'une suite

dans la vidéo précédente on m'avait étudier un cas très simple d'intérêts composés qui nous avait conduits à cette expression là un plus 1 suresnes élevé à la puissance n en fait on avait observé le cas d'un prêt bancaire avec un certain taux d'intérêt remboursés sur une un certain nombre de périodes alors ici je vais mettre ce n qui est le nombre de périodes qu'on retrouve ici en explosant voilà alors dans la vidéo précédente on a fait plusieurs essais avec différentes valeurs de haine toujours plus grande jusqu'à n égale 365 qui correspondait un prêt bancaire de taux d'intérêt journalier de 100% sur 365 remboursables en 365 jours donc en une année voilà alors ce qu'on avait dit dans la dernière vidéo aussi c'est que on m'avait donc fait ces essais et que ces essais paraissait converger vers un nombre et je t'avais dit que ce nombre c'était un nombre très connu en mathématiques et en sciences qu'on appelle le nombreux et donc ce que je voudrais faire dans cette vidéo c'est déjà essayé de voir un petit peu vers quoi nous mène cette expression là quand on la calcule pour des valeurs de haine de plus en plus grande alors je prends la calculatrice donc je vais calculer cette expression donc je voulais parenthèse et je vais prendre une valeur de haine très grande donc on va calculer un plus 1 / disons un million je prends un égal 1 millions dont classé dix mille cent mille 1 million je ferme la parenthèse et j'élève toute cette parenthèse à la puissance 1 million 10 a fait la g 100 milles et donc puis 105 millions voilà alors évidemment ici je vais appuyer sur la touche entrée ne t'inquiète pas c'est un moment de suspense mais d'abord je voudrais qu'on se penche un petit peu sur cette expression qui est là parce qu'on a un nombre dans la parenthèse qui est plus grand qu'un qu'on élève à une puissance donc si cette puissance est très grande là comme le cas que j'ai pris ici puissance un million on peut imaginer que ça va donner un nombre gigantesque mais ce qui est intéressant c'est de regarder un petit peu mieux ce qu'on a dans la parenthèse puisque ici on a un plus un suresnes donc un plus un sur un million dans le cas que qu'on va calculer tout à l'heure donc c'est quelque chose qui est plus grand que 1 mais plus n est grand plus qu'il ya dans la parenthèse est proche de 1 donc ça sera jamais exactement 1 mais en fait on se rapproche de plus en plus de cinq ans et grandi ici et donc voilà ces deux tendances la selon ce qu'ont pensé d'une certaine manière on peut dire ça comme ça et pour comprendre un peu mieux on peut aussi se dire que quand on a un élevé à la puissance 1 million bien ça fait 1 million donc ici on a un tout petit peu plus que 1 élevé à la puissance 1 million donc ça devrait être pas très loin de 1 non plus donc c'est ce que je disais tout à l'heure c'est tendance ce qu'on pense et on va le voir tout de suite là maintenant je vais appuyer sur cette touche en prévoit la tacc et j'obtiens cette valeur 2,718 280 469 effectivement ici les décimales se continue normalement et donc ça confirme ce que je disais on n'a pas du tout quelque chose de très très grands 2,72 à peu près donc c'est pas très grand c'est même assez petit par rapport à ce qu'on pouvait imaginer et on va confirmer ce fait là en faisant un autre exemple alors ici je vais faire le même calcul mais avec un une valeur de haine encore plus grande alors un plus 1 / là je vais prendre 10 millions et je vais utiliser les puissances de 10 la notation scientifique donc c'est 10 puissance cette voie là 10 puissance 7 je ferme la parenthèse et je vais élever sa à la puissance 10 puissance est donc 10 puissance 7 et je ferme la parenthèse donc là j'ai un plus un sur dix millions et levait la puissance 10 millions alors on va voir je ne sais pas si la calculatrice peut calculer ça mais oui très bien ça nous donne 2,7 1,8 de 8 1 693 donc tu vois que là les cinq premières décimales sont les mêmes et on a une différence à partir du du coût de la 6ème décimales alors je vais continuer avec une valeur de haine encore plus grande je vais prendre 100 millions donc un plus 1 / alors 100 millions ses 10 puissance 8/10 puissent ensuite je ferme la parenthèse et je ferme la grande parenthèse élevé à la puissance 10 puis sans suite et on va voir ça me donne 2 718 288 115 ici encore le développement décimales et le même jusqu'à la position 5 c'est à partir de ce chiffre là que la valeur change alors ce qui se passait quand fait plus on prend des valeurs de haine grande plus on s'approche petit à petit de la valeur du nombreux alors cette valeur là je peux la calculer ici et 22 donner une valeur approché que laquelle la calculatrice va calculer c'est eux élevés à la puissance 1 et c'est donc voilà on retrouve pratiquement la même que celle qu'on a calculé tout à l'heure et donc finalement ce qui se passe c'est que cette suite la 1 + 1 sur rennes élevé à la puissance n et bien en fait elle n'est pas divergentes elle ne va pas ça limite n'est pas l'infini et on peut l'écrire comme ça la limite quand elle tend vers plus l'infini de cette suite et bien c'est un nombre un nombre qu'on appelle eux donc c'est ce nombre dont je t'avais déjà parlé et dont la valeur est à peu près deux virgules je vais reprendre ce qui est écrit ici 2.718 de 8 1 8 donc c'est environ 2,7 1,8 de 8 1 8 et ainsi de suite et en fait ce qui est intéressant c'est que le développement décimale de ce nombre-là ne se termine jamais c'est exactement comme le nombre pi que tu connais qui est le rapport entre la circonférence et le diamètre d'un cercle ce sont des nombres qu'on appelle des nombres transcendant dont le développement de décimales est infini et ne se répète jamais voilà donc ce nombreux comme le nombre pi comme l'unité imaginaire des complexes le nombreux y ce sont des nombres qui ont une importance vraiment fondamental dans la nature et qu'on retrouve dans pleins pleins de domaines donc ça tu verras d'autres vidéos sur la khan academy là dessus et en particulier ce qui est assez surprenant est assez fascinant c'est que ces trois nombres la e i épis sont liés par une relation très très simple que tu apprendras par la suite