Prérequis :

Les puissances et notamment les puissances négatives.

Le sujet traité

Vous apprendrez dans cette leçon ce qu'est un logarithme et comment les calculer.

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Les logarithmes n'existeraient pas si les "puissances " n'existaient pas !
2\blueD2 puissance 4\greenE4\text{} est égal à 16\goldD{16}. Ce qui s'écrit : 24=16\blueD2^\greenE4=\goldD{16}.
Si on se pose la question : "À quelle puissance faut-il élever 2\blueD2 pour obtenir 16\goldD{16} ?" la réponse est 4\greenE4. Si on utilise un logarithme, la relation qui lie 22, 44 et 1616 est : log2(16)=4\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4 ce qui se lit "Le logarithme en base deux de seize est quatre".
24=16log2(16)=4\Large \blueD2^\greenE4=\goldD{16}\quad\iff\quad\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4
Les deux égalités traduisent la même relation entre 2\blueD2, 4\greenE4 et 16\goldD{16}. 2\blueD2 s'appelle la base du logarithme et 4\greenE4 est la puissance à laquelle est élevé 22.
La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance, 16\goldD{16}, tandis que dans la forme logarithmique, on isole l'exposant, 4\greenD 4.
Voici d'autres exemples :
LogarithmesPuissances
log2(8)=3\log_\blueD2(\goldD{8})=\greenD3\iff23=8\blueD2^\greenD3=\goldD8
log3(81)=4\log_\blueD3(\goldD{81})=\greenD4\iff34=81\blueD3^\greenD4=\goldD{81}
log5(25)=2\log_\blueD5(\goldD{25})=\greenD2\iff52=25\blueD5^\greenD2=\goldD{25}

Définition du logarithme de base bb

Par définition, si a>0a>0 et b>0b>0,
logb(a)=cbc=a\Large\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c\quad \iff\quad \blueD b^\greenD c=\goldD a
Ces deux égalités sont équivalentes, elles traduisent la même relation entre a\goldD a, b\blueD b et c\greenE c :
  • b\blueD b est la base\blueD{\text{base}} de la puissance et c'est aussi la base du logarithme,
  • c\greenE c est la puissance\greenE{\text{puissance}},
  • a\goldD a est l’argument\goldD{\text{l'argument}}.

A ne pas oublier

Quand on passe de la forme exponentielle à la forme logarithmique ou vice-versa, la base du logarithme et la base de l'exponentielle sont les mêmes.

À vous !

Voici des exercices où il s'agit de passer d'une égalité comportant une puissance à l'égalité équivalente comportant un logarithme.

Calculer un logarithme

Et maintenant, comment calculer un logarithme ?
On veut, par exemple, calculer log4(64)\log_4(64).
Si xx désigne la valeur de ce logarithme, on cherche xx tel que
log4(64)=x\log_4(64)=x
Ce qui, par définition, est équivalent à :
4x=644^x=64
Quelle est la puissance de 44 égale à 64 ?64~? C'est 33 car 43=64\blueD4^\greenD 3=\goldD{64} et donc log4(64)=3\log_\blueD4(\goldD{64})=\greenD3.
Avec un peu d'entraînement, vous réduirez ces étapes et dès que vous lirez log4(64)\log_4(64), vous vous demanderez "Quelle est la puissance de 44 égale à 64 ?64~?

À vous !

N'oubliez pas que pour trouver la valeur de logb(a)\log_\blueD{b}(\goldD{a}), il suffit de se demander "quelle est la puissance de b\blueD b égale à a ?\goldD a~?"

Un dernier exercice

Ensemble de définition

logb(a)\log_b(a) est défini pour toute base b>0b>0 et b1b≠1 et tout argument a>0a>0. Ces conditions sont la conséquence directe des propriétés des puissances.
ConditionJustification
b>0b>0Les fonctions exponentielles de base bb ne sont définies que si bb est strictement positif.
a>0a>0logb(a)=c\log_b(a)=c équivaut à bc=ab^c=a. Or toute puissance d'un nombre positif est positive. Donc bc>0b^c>0 et par conséquent a>0a>0.
b1b\neq1Si bb était égal à 11 alors, par exemple, il existerait un nombre xx tel que log1(3)=x\log_1(3)=x qui serait équivalent à 1x=31^x=3. Or toute puissance de 11 est égale à 11, donc un tel nombre xx n'existe pas, et b1b\neq1.

Logarithmes particuliers

On utilise le plus fréquemment deux bases.
La plupart des calculatrices disposent de touches spécifiques pour ces deux bases.

Le logarithme décimal

Le logarithme décimal est le logarithme de base 1010. Il est noté log10log_{10} ou tout simplement loglog.
Quand la base n'est pas précisée, c'est qu'il s'agit du logarithme de base 1010.
log10(x)=log(x)\log_{10}{(x)}=\log(x)

Le logarithme népérien

Le logarithme népérien est le logarithme de base ee.
Ce logarithme est noté ln\ln :
loge(x)=ln(x)\log_e(x)=\ln(x)
L'essentiel à retenir à propos de ces deux logarithmes :
NomBaseNotation généraleNotation spécifique
Logarithme décimal1010log10(x)\log_{10}(x)log(x)\log(x)
Logarithme népérieneeloge(x)\log_e(x)ln(x)\ln(x)
On utilise généralement la notation spécifique.

Pourquoi étudier les logarithmes ?

Comme on vient de le voir, la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc très utile pour résoudre les équations comportant des puissances.
Par exemple, la solution de l'équation 2x=52^x=5 est x=log2(5)x=\log_2(5). On apprendra à calculer une expression comportant un logarithme dans les leçons suivantes.
Les logarithmes s'avèrent très intéressants en eux-mêmes, ils interviennent partout dans le monde qui nous entoure. Beaucoup de phénomènes physiques par exemple sont mesurés à l'aide d'échelles logarithmiques.

Quelles sont les prochaines leçons ?

Il y en a deux. La première porte sur les propriétés des logarithmes. La deuxième porte sur la formule de changement de base qui permet de calculer n'importe quel logarithme à la calculatrice.
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