Dans cette leçon nous allons démontrer trois des propriétés du logarithme. Les raisonnements reposent sur cette formule :
logb(bc)=c\large\log_b(b^c)=c
L'image de bcb^c par la fonction logarithme de base bb est cc.
Il faut bien garder cette formule en tête car c'est sur elle que repose tout ce qui va suivre.

Le logarithme d'un produit : logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où M=4M=4, N=8N=8 et b=2b=2.
On remplace MM et NN par ces valeurs dans logb(MN)\log_b(MN). On obtient :
log2(4×8)=log2(22×23)22=4 et 23=8=log2(22+3)am×an=am+n=2+3logb(bc)=c=log2(4)+log2(8)car  et 2=log2(4)3=log2(8)\begin{aligned}\log_2({4\times 8})&=\log_2(2^2\times 2^3)&&\small{\gray{2^2=4\text{ et } 2^3=8}}\\ \\ &=\log_2(2^{2+3})&&\small{\gray{\text{$a^m\times a^n=a^{m+n}$}}}\\ \\ &=2+3&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{car $2=\log_2(4)$ et $3=\log_2(8)$}}}\\ \end{aligned}
Donc on a établi que log2(4×8)=log2(4)+log2(8)\log_2({4\times 8})=\log_2(4)+\log_2(8).
Ce n'est qu'un cas particulier mais on peut utiliser la même démarche pour démontrer la propriété.
Le raisonnement précédent repose sur le fait que 44 et 88 sont des puissances de 22. Mais dans le cas général, quels que soient M>0M>0 et b>0b>0, il existe un réel xx tel que bx=Mb^x=M et quels que soient N>0N>0 et b>0b>0, il existe un réel yy tel que by=Nb^y=N.
bx=Mb^x=M équivaut à logb(M)=x\log_b(M)=x et by=Nb^y=N équivaut à logb(N)=y\log_b(N)=y.
On obtient :
logb(MN)=logb(bx×by)=logb(bx+y)=x+ycar logb(bc)=c=logb(M)+logb(N)\begin{aligned}\log_b(MN)&=\log_b(b^x\times b^y)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x+y})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x+y&&\small{\gray{\text{car $\log_b(b^c)=c$}}} \\\\ &=\log_b(M)+\log_b(N)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Le logarithme d'un quotient : logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

La démonstration est analogue à la démonstration précédente.
Si xx et yy sont les réels tels que M=bxM=b^x et N=byN=b^y, alors logb(M)=x\log_b(M)=x et logb(N)=y\log_b(N)=y.
Donc :
logb(MN)=logb(bxby)=logb(bxy)=xycar logb(bc)=c=logb(M)logb(N)\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)&=\log_b\left(\dfrac{b^x}{ b^y}\right)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_b(b^{x-y})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=x-y&&\small{\gray{\text{car $\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)-\log_b(N)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Le logarithme d'une puissance : logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

Si xx est le réel tel que M=bxM=b^x, alors logb(M)=x\log_b(M)=x.
Donc :
logb(Mp)=logb((bx)p)=logb(bxp)=xplogb(bc)=c=logb(M)×p=p×logb(M)\begin{aligned}\log_b\left(M^p\right)&=\log_b(\left({b^x}\right)^p)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_b(b^{xp})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=xp&&\small{\gray{\text{$\log_b(b^c)=c$}}}\\ \\ &=\log_b(M)\times p&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=p\times\log_b(M)&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
On peut aussi démontrer cette propriété à partir de la propriété du logarithme d'un produit.
logb(Mp)=logb(M×M×...×M)\log_b(M^p)=\log_b(M\times M\times ...\times M), avec pp facteurs égaux à MM.
On applique la propriété du logarithme d'un produit et on obtient :
logb(Mp)=logb(M×M×...×M)=logb(M)+logb(M)+...+logb(M)=p×logb(M)\begin{aligned} \log_b(M^p) &=\log_b(M\times M\times ...\times M)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &= \log_b(M)+\log_b(M)+...+\log_b(M)&& \small{\gray{\text{}}}\\\\ &= p\times \log_b(M) &&\small{\gray{\text{}}}\end{aligned}
Et on a ainsi démontré les trois propriétés !
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