Les propriétés du logarithme et des exemples d'application.
Produitlogb(MN)=logb(M)+logb(N)\large\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)
Quotientlogb(MN)=logb(M)logb(N)\large\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)
Puissancelogb(Mp)=plogb(M)\large\log_b(M^p)=p\log_b(M)
Ces égalités sont vraies pour tout MM, NN et bb pour lesquels le logarithme est défini, c'est-à-dire pour tout MM et N>0N>0 et tout 0<b10<b\neq1.

Prérequis :

Vous devez savoir ce qu'est un logarithme. Si ce n'est pas le cas, cliquez ici.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur trois propriétés des logarithmes.
On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

Le logarithme d'un produit : logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple 1 : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant sous forme de somme.
Développer log6(5y)\log_6(5y).
5y5y est le produit de 5\blueD 5 par y\greenD y. D'après la propriété du logarithme d'un produit :
log6(5y)=log6(5×y)=log6(5)+log6(y)        \begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\times \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple 2 : Réduire

Réduire une somme de logarithmes en l'écrivant sous la forme d'un seul logarithme.
Réduire log3(10)+log3(x)\log_3(10)+\log_3(x).
Comme les deux logarithmes ont la même base, 33, on peut utiliser la propriété du logarithme d'un produit, dans l'autre sens :
log3(10)+log3(x)=log3(10×x)=log3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\times \greenD x)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un produit, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.
Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un produit pour réduire log2(8)+log3(y)\log_2(8)+\log_3(y).

À vous !

Le logarithme d'un quotient : logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes de ses deux termes.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple 1 : Développer

Développer log7(a2)\log_7\left(\dfrac{a}{2}\right) en l'écrivant sous forme de différence de logarithmes.
log7(a2)=log7(a)log7(2)\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple 2 : Réduire

Réduire log4(x3)log4(y)\log_4(x^3)-\log_4(y).
Comme les deux logarithmes ont la même base, 44, on peut appliquer la propriété du logarithme d'un quotient, dans l'autre sens :
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un quotient, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.
Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un quotient pour réduire log2(8)log3(y)\log_2(8)-\log_3(y).

À vous !

Le logarithme d'une puissance : logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple 1 : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant comme multiple d'un autre logarithme.
Développer log2(x3)\log_2\left(x^3\right).
log2(x3)=3×log2(x)=3log2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\times \log_2(x)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Exemple 2 : Réduire

Réduire un multiple d'un logarithme en l'écrivant sous forme d'un logarithme seul .
Réduire 4log5(2)4\log_5(2),
D'après la propriété du logarithme d'une puissance :
4log5(2)=log5(24)  =log5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

À vous !

D'autres exercices

Dans ces exercices, il faudra utiliser successivement plusieurs propriétés.
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