Les propriétés du logarithme et des exemples d'application.
Produitlogb(MN)=logb(M)+logb(N)\large\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)
Quotientlogb(MN)=logb(M)logb(N)\large\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)
Puissancelogb(Mp)=plogb(M)\large\log_b(M^p)=p\log_b(M)
Ces égalités sont vraies pour tout MM, NN et bb pour lesquels le logarithme est défini, c'est-à-dire pour tout MM et N>0N>0 et tout 0<b10<b\neq1.
La fonction logarithme de base bb est définie si bb est strictement positif et différent de 11, et l'ensemble de définition d'une fonction logarithme est l'ensemble des réels strictement positifs.

Prérequis :

Vous devez savoir ce qu'est un logarithme. Si ce n'est pas le cas, cliquez ici.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur trois propriétés des logarithmes.
On va examiner chaque propriété l'une après l'autre.

Le logarithme d'un produit : logb(MN)=logb(M)+logb(N)\log_b(MN)=\log_b(M)+\log_b(N)

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.
Si M=4M=4, N=8N=8 et b=2b=2, alors d'après la propriété du logarithme d'un produit, log2(4×8)=log2(4)+log2(8)\log_2(4\times 8)=\log_2(4)+\log_2(8).
Le calcul qui suit permet de vérifier la propriété dans ce cas précis :
log2(4×8)=oulog2(4)+log2(8)log2(32)=oulog2(4)+log2(8)car 4×8=325=ou2+35=5\begin{aligned}\log_2({4\times 8})&{=ou≠}\log_2(4)+\log_2(8)\\ \\ \log_2(32)&{=ou≠}\log_2(4)+\log_2(8)&&\small{\gray{\text{car $4\times 8=32$}}}\\ \\ 5&{=ou≠}2+3&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ 5&=5\end{aligned}
Attention, ce n'est qu'une vérification dans un cas particulier et en aucun cas une démonstration de la propriété.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple 1 : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant sous forme de somme.
Développer log6(5y)\log_6(5y).
5y5y est le produit de 5\blueD 5 par y\greenD y. D'après la propriété du logarithme d'un produit :
log6(5y)=log6(5×y)=log6(5)+log6(y)        \begin{aligned}\log_6(\blueD5\greenD y)&=\log_6(\blueD5\times \greenD y)\\ \\ &=\log_6(\blueD5)+\log_6(\greenD y)&&~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple 2 : Réduire

Réduire une somme de logarithmes en l'écrivant sous la forme d'un seul logarithme.
Réduire log3(10)+log3(x)\log_3(10)+\log_3(x).
Comme les deux logarithmes ont la même base, 33, on peut utiliser la propriété du logarithme d'un produit, dans l'autre sens :
log3(10)+log3(x)=log3(10×x)=log3(10x)\begin{aligned}\log_3(\blueD{10})+\log_3(\greenD x)&=\log_3(\blueD{10}\times \greenD x)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_3({10} x) \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un produit, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.
Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un produit pour réduire log2(8)+log3(y)\log_2(8)+\log_3(y).

À vous !

1) Développer log2(3a)\log_2(3a).
 
On peut utiliser la formule du logarithme d'un produit et écrire que log2(3a)\log_2(3a) est la somme de deux logarithmes.
On obtient :
log2(3a)=log2(3×a)=log2(3)+log2(a)\begin{aligned}\log_2(\blueD3\greenD a)&=\log_2(\blueD3\times \greenD a)\\ \\ &=\log_2(\blueD3)+\log_2(\greenD a) &&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
2) Réduire log5(2y)+log5(8)\log_5(2y)+\log_5(8).
 
On peut utiliser la formule du logarithme d'un produit pour écrire log5(2y)+log5(8)\log_5(2y)+\log_5(8) sous la forme d'un seul logarithme :
log5(2y)+log5(8)=log5(2y×8)=log5(16y)\begin{aligned}\log_5(\blueD{2y})+\log_5(\greenD {8})&=\log_5(\blueD{2y}\times \greenD {8})&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_5(16y) \end{aligned}

Le logarithme d'un quotient : logb(MN)=logb(M)logb(N) \log_b\left(\dfrac{M}{N}\right)=\log_b(M)-\log_b(N)

Le logarithme d'un quotient est la différence des logarithmes de ses deux termes.
Si M=81M=81, N=3N=3 et b=3b=3, alors d'après la propriété du logarithme d'un quotient, log3(813)=log3(81)log3(3)\log_3\left(\dfrac{81}{3}\right)=\log_3(81)-\log_3(3).
Le calcul qui suit permet de vérifier la propriété dans ce cas précis :
log3(813)=ou log3(81)log3(3)log3(27)=oulog3(81)log3(3)car 81÷3=273=ou413=3\begin{aligned} \\\log_3\left({\dfrac{81}{3}}\right)&{=ou≠ } \ \log_3(81)-\log_3(3)\\ \\ \log_3(27)&{=ou≠ } \,\log_3(81)-\log_3(3)&&\small{\gray{\text{car $81\div 3=27$}}}\\ \\ 3&{=ou≠ } \,4-1&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ 3&=3\end{aligned}
Attention, ce n'est qu'une vérification dans un cas particulier et en aucun cas une démonstration de la propriété.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple 1 : Développer

Développer log7(a2)\log_7\left(\dfrac{a}{2}\right) en l'écrivant sous forme de différence de logarithmes.
log7(a2)=log7(a)log7(2)\begin{aligned}\log_7\left(\dfrac{\purpleC a}{\goldD 2}\right)&=\log_7(\purpleC a)-\log_7(\goldD 2) &\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple 2 : Réduire

Réduire log4(x3)log4(y)\log_4(x^3)-\log_4(y).
Comme les deux logarithmes ont la même base, 44, on peut appliquer la propriété du logarithme d'un quotient, dans l'autre sens :
log4(x3)log4(y)=log4(x3y)\begin{aligned}\log_4(\purpleC{x^3})-\log_4(\goldD{y})&=\log_4\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{y}}\right)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \end{aligned}

Remarque

Pour réduire une expression logarithmique en utilisant la propriété du logarithme d'un quotient, il est indispensable que TOUS les logarithmes aient la même base.
Il est impossible, par exemple, d'utiliser la propriété du logarithme d'un quotient pour réduire log2(8)log3(y)\log_2(8)-\log_3(y).

À vous !

3) Développer logb(4c)\log_b\left(\dfrac{4}{c}\right).
 
On peut utiliser la formule du logarithme d'un quotient et écrire que logb(4c)\log_b\left(\dfrac{4}{c}\right) est la différence de deux logarithmes :
logb(4c)=logb(4)logb(c)\begin{aligned}\log_b\left(\dfrac{\purpleC 4}{\goldD c}\right)&=\log_b(\purpleC 4)-\log_b(\goldD c) &&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
4) Réduire log(3z)log(8)\log(3z)-\log(8).
 
Il s'agit du logarithme décimal, car log(x)=log10(x)\log(x)=\log_{10}(x).
On applique la formule du logarithme d'un quotient :
log(3z)log(8)=log(3z8)\begin{aligned}\log(\purpleC{3z})-\log(\goldD{8})&=\log\left(\dfrac{\purpleC{3z}}{\goldD{8}}\right)\\ \end{aligned}
La réponse log10(3z8)\log_{10}\left(\dfrac{3z}{8}\right) est aussi valable.

Le logarithme d'une puissance : logb(Mp)=plogb(M)\log_b(M^p)=p\log_b(M)

Le logarithme d'une puissance est le produit de l'exposant par le logarithme de la base.
Si M=4M=4, p=2p=2 et b=4b=4, alors d'après la propriété du logarithme d'une puissance, log4(42)=2log4(4)\log_4\left(4^2\right)=2\log_4(4).
Le calcul qui suit permet de vérifier la propriété dans ce cas précis :
log4(42)=ou2log4(4)log4(16)=ou2log4(4)2=ou2×12=2 \begin{aligned} \\\log_4\left({4^2}\right)&{=ou≠ }\,2\log_4(4)\\ \\ \log_4(16)&{=ou≠ }\,2\log_4(4)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ 2&{=ou≠ }\,2\times 1&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \\ 2&=2 \end{aligned}
Attention, ce n'est qu'une vérification dans un cas particulier et en aucun cas une démonstration de la propriété.
On utilise cette propriété pour manipuler les expressions logarithmiques.

Exemple 1 : Développer

Développer un logarithme en l'écrivant comme multiple d'un autre logarithme.
Développer log2(x3)\log_2\left(x^3\right).
log2(x3)=3×log2(x)=3log2(x)\begin{aligned}\log_2\left(x^\maroonC3\right)&=\maroonC3\times \log_2(x)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=3\log_2(x) \end{aligned}

Exemple 2 : Réduire

Réduire un multiple d'un logarithme en l'écrivant sous forme d'un logarithme seul .
Réduire 4log5(2)4\log_5(2),
D'après la propriété du logarithme d'une puissance :
4log5(2)=log5(24)  =log5(16)\begin{aligned}\maroonC4\log_5(2)&=\log_5\left(2^\maroonC 4\right)~~&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\log_5(16)\\ \end{aligned}

À vous !

5) Développer log7(x5)\log_7(x^5).
 
log7(x5)=5×log7(x)=5log7(x)\begin{aligned}\log_7\left(x^\maroonC5\right)&=\maroonC5\times \log_7(x)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=5\log_7(x) \end{aligned}
6) Réduire 6ln(y)6\ln(y).
 
6ln(y)=ln(y6)\begin{aligned}\maroonC6\ln(y)&=\ln\left(y^\maroonC 6\right)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \end{aligned}

D'autres exercices

Dans ces exercices, il faudra utiliser successivement plusieurs propriétés.
1) logb(2x35)\log_b\left(\dfrac{2x^3}{5}\right) est égal à :
Réponse :
Réponse :
On applique la propriété du logarithme d'un quotient.
logb(2x35)=logb(2x3)logb(5)               \begin{aligned} \log_b\left(\dfrac{\blueD{2x^3}}{\greenD{5}}\right) &= \log_b(\blueD{2x^3})-\log_b(\greenD{5}) ~~~~~~~~~~~~~~~&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \end{aligned}
On peut aussi appliquer la propriété du logarithme d'un produit :
logb(2x35)=logb(2x3)logb(5)=logb(2)+logb(x3)logb(5) \begin{aligned}\phantom{\log_b\left(\dfrac{\blueD{2x^3}}{\greenD{5}}\right)} &=\log_b({\purpleC{2}\goldD {x^3}})-\log_b({5})\\\\ &= \log_b(\purpleC{2})+\log_b(\goldD {x^3})-\log_b(5)&&~\small{\gray{\text{}}} \\\\ \end{aligned}
Et enfin on peut appliquer la propriété du logarithme d'une puissance :
logb(x3yz2)=logb(2)+logb(x3)logb(5)=logb(2)+3logb(x)logb(5)\begin{aligned}\phantom{\log_b\left(\dfrac{\blueD{x^3y}}{\greenD{z^2}}\right)} &=\log_b( 2)+\log_b({x^\maroonC 3})-\log_b(5)\\\\ &=\log_b(2)+\maroonC 3\log_b(x)- \log_b(5)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ \end{aligned}
Le développement est terminé car les arguments de logblog_b ne comportent ni produit, ni quotient, ni puissance.
Donc la réponse est logb(2)+3logb(x)logb(5)\log_b(2)+3\log_b(x)-\log_b(5).
2) 3log2(x)2log2(5)3\log_2(x)-2\log_2(5) est égal à :
Réponse :
Réponse :
On utilise la propriété du logarithme d'une puissance.
3log2(x)2log2(5)=log2(x3)log2(52)=log2(x3)log2(25)\begin{aligned}\maroonD 3\log_2(x)-\maroonD2\log_2(5)&=\log_2(x^\maroonD 3)-\log_2(5^\maroonD 2)\\ \\ &=\log_2(x^3)-\log_2(25)\\ \end{aligned}
On utilise la propriété du logarithme d'un quotient :
3log2(x2)2log2(5)=log2(x3)log2(25)=log2(x325)\begin{aligned}\phantom{\maroonD 3\log_2(x^2)-\maroonD2\log_2(5)}&=\log_2(\purpleC{x^3})-\log_2(\goldD{25})\\ \\ &=\log_2\left(\dfrac{\purpleC{x^3}}{\goldD{25}}\right)\\ \end{aligned}
La réponse est log2(x325)\log_2\left(\dfrac{{x^3}}{{25}}\right)
Chargement