Les propriétés du logarithme - 1re partie

alors on va continuer notre travail sur les logarithmes est en fait là on va regarder quelques propriétés intéressantes des logarithme on va pas l'aider montrer ça je laisse ça on le fera dans d'autres vidéos là on va juste énoncé quelques propriétés et travailler avec voir comment ça marche arthur a peut-être envie de savoir pourquoi c'est propriété qu'on va sur lesquelles on va travailler son vrai mais ça bah il faudra que tu ailles regarder les vidéos qu'on fera un peu plus tard en tout cas ce qu'on va faire c'est commencer par se souvenir de ce que c'est qu'un logarithme de ce qu'on appelle un logarithme alors si on prend une expression exponentielle de ce genre là à un nombre à élever à la puissance b à notre nombre égal à c'est ça c'est une manière de dire que si on prend le nom breux à comps l'élève à la puissance b eh bien on obtient le nombre c et on peut dire à peu près la même chose d'une autre manière en utilisant les logarithmes et en fait on va dire que le logarithme en base à de c c'est b alors ça c'est deux propositions équivalentes qui disent à peu près la même chose simplement elles sont pas utilisés dans le même ordre c'est à dire que là on a deux nombres a et b et quand on fait à élever à la puissance b en en déduit la valeur de ces a élevé à la puissance b alors que ici ce qu'on connaisse et c&a et on se demande à quelle puissance il faut élever à pour obtenir ces et on trouve la valeur de b donc finalement ces deux propositions qui exprime exactement la même relation entre les nombres à b et c mais dans un ordre différent en fait selon les nombres qu'on connaît au départ voilà alors maintenant je vais rentrer un petit peu dans le vif du sujet je vais énoncer une propriété des logarithme alors la propriété en question ça va être celle ci le logarithme en base alors je vais prendre la lettre b pour base donc logarithme base b2 à d'un nombre à plus le logarithme en basse b encore d'un autre nombre c est bien c'est le logarithme en base b du nombre à pois c'est du produit assez voilà alors là c'est important de bien remarqué que cette relation est vrai ainsi on prend des logarithme si les trois logarithme ont la même base sinon ça marche pas voilà alors bon je te rappelle que la justification théorique de cette propriété on la verra plus tard là on va juste travailler avec d'essayer de comprendre un petit peu intuitivement pourquoi ça marche comme ça alors on va l'appliquer déjà donc je vais l'écrire dans un cas particulier disons que si je prends le logarithme en base 2 de 8 plus le logarithme en base 2 de 30,2 ça va être le logarithme en base 2,2 du coup donc à fois c'est ici ça sera 8 x 32 donc logarithme en baisse de 2,8 fois 32 ça fait 256 donc ici on va voir logarithme en baisse de 2 256 voilà ça c'est ce que nous dit cette propriété on va voir la cie dans ce cas-là m marche alors pour ça on va regarder individuellement chaque terme ici si on cherche le logarithme en base 2 de 8 cette partie là ça ça revient à chercher à quelle puissance il faut élever deux pour obtenir 8 dont deux puissances quelque chose égale à 8 en fait on sait que de puissance 3 est égal à 8 donc finalement ici le logarithme en baisse de 2,8 c3 puisque deux élevé à la puissance 3 est égal à 8 ensuite cette partie là logarithme en base 2 2 32 donc ça revient chercher à quelle puissance il faut élever deux pour avoir 32 est bon pour faire ça peut soit calculé les puissances de deux successives jusqu'à arriver à 32 sinon si tu le sais tu peux savoir aussi que deux puissances 5 c'est égal à 32 donc ce que cette term la logarithme en baisse de 2,32 en fait c'est 5 maintenant il reste ce terme là alors là c'est pareil si tu est familier des de l'informatique tu peux savoir que deux puissances 8 ça fait 256 depuis sans suite ça fait 256 si tu ne sais pas comme tout à l'heure tu peux très bien calculé les puissances excessive de deux jusqu'à trouver 256 est en tout cas le lot garric l'embase 2 2 256 et 8 puisque deux puissances 8 ça fait 256 est donc là on voit bien que ça marche puisque 3 + 5 c'est effectivement égale à 8 donc dans ce cas ci la propriété marche elle est vrai dans ce cas dans cet exemple là alors voilà ça ça peut paraître complètement mystérieux trait est très bizarre ça peut aussi de paraître tout à fait évident et dans ce cas là peut-être que tu arrives à relier sa une propriété des puissances que tu connais c'est que si tu écris de puissance trois fois deux puissances 5 ça il ya une propriété que tu connais qui dit que ces deux élevé à la puissance 3 + 5 donc en fait trois plus sain que ça fait 8 donc de élevé à la puissance 3 x 2 élevèrent la puissance 5 ça fait deux élevé à la puissance 8 et ça en fait c'est essentiellement ce qu'on fait ici en utilisant cette propriété là ici quand on parle des puissances on voit que un nombre élevé à une certaine puissance x ce même nombre est élevé à une autre puissance et bien c'est ce nombre élevé à la somme des deux puissances et quand on regarde ça d'un point de vu le gars rythmique on va dire on a cette traduction là le logarithme d'un produit c'est la somme des deux lots garrido quand on a la même base voilà donc ça j'espère que intuitivement ça te permet de comprendre pourquoi ça marche comme ça de toute façon dans une prochaine vidéo on démontrera cette propriété là d'une manière un peu plus rigoureuse et là c'était juste pour appliquer ça alors maintenant on va voir une autre propriété intéressante des logarithme alors j'ai fait un peu de place donc cette propriété là cette deuxième propriété c'est allé assez proche de la première elle dit que le logarithme en basse b d'un nombre à - le logarithme en base b toujours d'un autre nombre c est bien cette égale logarithme en basse baie de a sur ces 2 à 10 visés par ces jeux mais des parenthèses ici pour qu'on comprenne que c'est le logarithme de cette fraction comprend alors maintenant on va appliquer cette propriété dans un cas particulier comme tout à l'heure donc je vais aider on va dire par exemple on va prendre logarithme en base 3 cette fois ci de on va faire quelque chose d'un peu intéressants le gars rythme en basse 3 2 1 9e donc je mets des parenthèses ici aussi - le logarithme en basse 3 2 81 voilà donc cette propriété là nous dit que si elle est vraie ça nous dit que cette expression pas être égal au logarithme en base 3 2 1 9e / 81 donc un neuvième / 81 je peux l'écrire comme ça voilà je peux l'écrire aussi en fait je vais l'écrire directement ses 1 sur 9 x 81 donc ça je peux même l'écrire un petit peu mieux 9 x 81 9 x 800 et 72 donc 9 x 80 ça fait 720 et il faut que j'ajoute neuf donc en fait la 9 x 80 ça fait 7 129 donc là j'ai logarithme en basse 3 2 1 sur 7 129 voilà alors maintenant on va faire comme tout à l'heure on va essayer de calculer chaque terme de cette relation alors log en basse 3 2 1 9e qu'est ce que ça veut dire en fait c'est la puissance à laquelle il faut élever trois pour obtenir un neuvième alors bon là on va y aller un petit peu doucement tu sais que trois au carré ses 9,3 au carré ces neuf donc un sur trois au carré c'est un neuvième mais un sur trois ou caresser trois puissances - deux trois puissances - 2 donc en fait trois puissances - deux ça fait un neuvième ce qui veut dire que le nombre la puissance à laquelle il faut élever trois pour obtenir un neuvième c'est moins de ceux - 2 qui est là donc cette ce terme là ça s'est moins deux ensuite ce terme aussi log en basse 3 2 81 ça revient à chercher la puissance à laquelle il faut élever trois pour obtenir 81 donc 3 alors 3 x 3 ça fait 9 3 x 3 ça fait 27 x 3 ça fait 81 donc trois élevé à la puissance 4 ça fait 81 ce qui veut dire que le logarithme en basse 3 2 81 c4 donc on a ici - 2 - 4 alors maintenant on peut essayer d'évaluer sa de trouver à quelle puissance il faut élever trois pour obtenir 1 sur 7 129 on peut le faire aussi différemment je vais le faire comme ça en fait je vais calculé ici - 2 - 4 et ça ça fait moins de -4 ça fait moins 6 donc maintenant on va juste vérifier que trois élevé à la puissance moins 6 ça fait ça doit faire c'est un sur 729 donc trois élevé à la puissance moins 6 et un sur trois est levé la puissance 6 et 3 élevé à la puissance 6 et 3 élevé la puissance 4 81 x 3 au carré c'est à dire x 9 et saab on l'a calculé tout à l'heure un 9 x 81 ça fait 7 129 donc trois puissants si ça fait 7 129 donc un sur trois puissances si ça fait 1 sur 7 129 voilà donc finalement trois puissances - s'ils savaient 1 sur 7 129 donc finalement le log en basse 3 2 1 sur 7 129 eh bien c'est effectivement - 6 - 6 voilà donc là aussi on voit que cette formule marche dans notre cas donc on peut on verra plus tard une justification théorique de ça une démonstration et puis on va continuer à s'entraîner avec ses propriétés là à bientôt