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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 13

Leçon 4: Équation d'un cercle sous forme développée

Équation d'un cercle - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé

Equation cartésienne d'un cercle

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

Cette équation est l'équation cartésienne d'un cercle de centre

(h, k)

et de rayon

r

On peut aussi l'écrire sous forme développée, en développant les carrés et en réduisant les termes semblables.

Par exemple, l'équation cartésienne du cercle de centre

(1, 2)

et de rayon

3

est

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3^{2}

. Voici sa forme développée :

\begin{aligned} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} & = 3^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) & = 9 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 & = 0 \end{aligned}

La vidéo.

Exercice 1 : Utiliser l'équation d'un cercle

Exercice 1.1

(x + 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 48

Quelles sont les coordonnées du centre de ce cercle ?

(

,

)

Quel est son rayon ?
Si nécessaire, arrondir au centième.

Pour vous entraîner, il y a ces exercices : Le centre et le rayon d'un cercle d'équation cartésienne donnée et ceux-ci : Tracer un cercle d'équation cartésienne donnée..

Exercice 2 : Etablir l'équation d'un cercle

Exercice 2.1

Soit le cercle de rayon

\sqrt{13}

, dont le centre est le point de coordonnées

(- 9, 3; 4, 1)

Établir l'équation de ce cercle.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exercice 3 : Utiliser la forme développée de l'équation du cercle

Il faut mettre en évidence des développements de carrés d'une somme pour passer de l'équation développée d'un cercle à son équation cartésienne.

Voici un exemple avec l'équation

x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 = 0

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y + 105 & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 18 x + 14 y & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x) + (y^{2} + 14 y) & = - 105 \\ (x^{2} + 18 x + 81) + (y^{2} + 14 y + 49) & = - 105 + 81 + 49 \\ (x + 9)^{2} + (y + 7)^{2} & = 25 \\ (x - (- 9))^{2} + (y - (- 7))^{2} & = 5^{2} \end{aligned}

Le centre du cercle a pour coordonnées

(- 9, - 7)

et le rayon est

5

Exercice 3.1

x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 53 = 0

Quelles sont les coordonnées du centre de ce cercle ?

(

,

)

Quel est le rayon de ce cercle ?

Pour vous entraîner, il y a ces exercices : Le centre et le rayon d'un cercle d'équation développée donnée et ceux-ci : Tracer un cercle d'équation développée donnée.

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