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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 1: Opérations sur les fonctions
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Opérations sur les fonctions
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Additionner ou soustraire deux fonctions

Google Classroom
Voir comment on peut ajouter ou soustraire deux fonctions pour en créer une nouvelle.
A partir de deux fonctions f et g, on peut définir la fonction somme de ces deux fonctions et la fonction différence de ces deux fonctions.

Définir la fonction somme

Exemple

On prend un exemple
f et g sont les fonctions telles que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, plus, 5, quelle est l'expression de left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis ?

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.
La fonction f, plus, g est la fonction qui à x fait correspondre f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis. Autrement dit left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Donc ce n'est pas difficile !
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             =(x+1)+(x2−2x+5)        =x+1+x2−2x+5                =x2−x+6                                \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x)+g(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &= \left(x+1\right)+\left(x^2-2x+5\right) ~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &= x+1+x^2-2x+5~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x^2-x+6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Graphiquement :

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g et celle de la fonction f, plus, g.
Sur le premier graphique, on lit que f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 et que g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #11accd, 5, end color #11accd. Sur le deuxième, on lit que left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10.
start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 5, end color #11accd, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, donc f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 2, right parenthesis.
On peut vérifier aussi que f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis.
Calculer :
f, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
g, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
left parenthesis, f, plus, g, right parenthesis, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

A vous !

Dans les deux exercices, a, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared, minus, 5, x, plus, 2 et b, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 8, x, minus, 10

Exercice 1

Établir l'expression de la fonction a, plus, b.
 

Exercice 2

Calculer left parenthesis, a, plus, b, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Définir la fonction différence

On opère de façon analogue pour la fonction différence.

Exemple

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 2, t, minus, 1 et q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 4, t, minus, 1.
On calcule left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Réponse

Ici encore, il faut bien comprendre la notation left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.
Par définition, left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, q, left parenthesis, t, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, t, right parenthesis.
=(q−p)(t)=q(t)−p(t).=(−t2−4t−1)−(2t−1).=−t2−4t−1−2t+1=−t2−6t\begin{aligned} &\phantom{=}(q-p)(t) \\\\ &=q(t)-p(t)\quad\small{\gray{\text{.}}} \\\\ &= (-t^2-4t-1)-(2t-1)\quad\small{\gray{\text{.}}}\\\\ &=-t^2-4t-1-2t+1\quad\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=-t^2-6t \quad\small{\gray{\text{}}}\end{aligned}
Donc left parenthesis, q, minus, p, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, t, squared, minus, 6, t, point

A vous !

Exercice 3

j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, n, cubed, minus, n, squared, plus, 8
k, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 8, n, squared, plus, 3, n, minus, 5
Calculer left parenthesis, j, minus, k, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis.
 

Exercice 4

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, squared, minus, 7, x, plus, 2
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5
Calculer left parenthesis, h, minus, g, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Une application

Une université a établi que si on prend comme année initiale l'année 1980, les fonctions g et f qui à l'année t font respectivement correspondre le nombre de garçons et le nombre de filles reçus aux examens de fin d'année sont définies par g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 526, minus, t et f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 474, plus, 2, t.
On appelle n la fonction qui à l'année t fait correspondre le nombre d'étudiants reçus à leurs examens de fin d'année dans cette université.
Établir l'expression de n, left parenthesis, t, right parenthesis.
n, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g :
Laquelle de ces deux courbes est celle de la fonction f, plus, g, space, question mark
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