Additionner ou soustraire deux fonctions

Voir comment on peut ajouter ou soustraire deux fonctions pour en créer une nouvelle.
A partir de deux fonctions ff et gg, on peut définir la fonction somme de ces deux fonctions et la fonction différence de ces deux fonctions.

Définir la fonction somme

Exemple

On prend un exemple
ff et gg sont les fonctions telles que f(x)=x+1f(x)=x+1 et g(x)=x22x+5g(x)=x^2-2x+5, établir l'expression de (f+g)(x)(f+g)(x).

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation (f+g)(x)(f+g)(x).
La fonction f+gf+g est la fonction qui à xx fait correspondre f(x)+g(x)f(x) +g(x). Autrement dit (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x).
Donc ce n'est pas difficile !
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             =(x+1)+(x22x+5)        =x+1+x22x+5                =x2x+6                                \begin{aligned} (f+g)(x) &= f(x)+g(x) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &= \left(x+1\right)+\left(x^2-2x+5\right) ~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &= x+1+x^2-2x+5~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x^2-x+6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Graphiquement :

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions ff et gg et celle de la fonction f+gf+g.
Sur le premier graphique, on lit que f(2)=3f(2)=\greenD 3 et que g(2)=5g(2)=\blueD 5. Sur le deuxième, on lit que (f+g)(2)=8(f+g)(2)=\goldD 8.
3+5=8\greenD{3}+\blueD{5}=\goldD{8}, donc f(2)+g(2)=(f+g)(2)f(2)+g(2)=(f+g)(2).
On peut vérifier aussi que f(1)+g(1)=(f+g)(1)f(1)+g(1)=(f+g)(1).

A vous !

Dans les deux exercices, a(x)=3x25x+2a(x)=3x^2-5x+2 et b(x)=x2+8x10b(x)=x^2+8x-10

Exercice 1

Exercice 2

Définir la fonction différence

On opère de façon analogue pour la fonction différence.

Exemple

p(t)=2t1p(t)=2t-1 et q(t)=t24t1q(t)=-t^2-4t-1.
On calcule (qp)(t)(q-p)(t).

Réponse

Ici encore, il faut bien comprendre la notation (qp)(t)(q-p)(t).
Par définition, (qp)(t)=q(t)p(t)(q-p)(t)=q(t)-p(t).
=(qp)(t)=q(t)p(t).=(t24t1)(2t1).=t24t12t+1=t26t\begin{aligned} &\phantom{=}(q-p)(t) \\\\ &=q(t)-p(t)\quad\small{\gray{\text{.}}} \\\\ &= (-t^2-4t-1)-(2t-1)\quad\small{\gray{\text{.}}}\\\\ &=-t^2-4t-1-2t+1\quad\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=-t^2-6t \quad\small{\gray{\text{}}}\end{aligned}
Donc (qp)(t)=t26t.(q-p)(t)=-t^2-6t.

A vous !

Exercice 3

j(n)=3n3n2+8j(n)=3n^3-n^2+8
k(n)=8n2+3n5k(n)=-8n^2+3n-5

Exercice 4

g(x)=4x27x+2g(x)=4x^2-7x+2
h(x)=2x5h(x)=2x-5

Une application

Une université a établi que si on prend comme année initiale l'année 19801980, les fonctions gg et ff qui à l'année tt font respectivement correspondre le nombre de garçons et le nombre de filles reçus aux examens de fin d'année sont définies par g(t)=526tg(t)=526-t et f(t)=474+2tf(t)=474+2t.
On appelle nn la fonction qui à l'année tt fait correspondre le nombre d'étudiants reçus à leurs examens de fin d'année dans cette université.

Un dernier exercice

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