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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 1: Opérations sur les fonctions
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Opérations sur les fonctions
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Additionner ou soustraire deux fonctions

Google Classroom
Voir comment on peut ajouter ou soustraire deux fonctions pour en créer une nouvelle.
A partir de deux fonctions f et g, on peut définir la fonction somme de ces deux fonctions et la fonction différence de ces deux fonctions.

Définir la fonction somme

Exemple

On prend un exemple
f et g sont les fonctions telles que f(x)=x+1 et g(x)=x2−2x+5, quelle est l'expression de (f+g)(x) ?

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation (f+g)(x).
La fonction f+g est la fonction qui à x fait correspondre f(x)+g(x). Autrement dit (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Donc ce n'est pas difficile !
(f+g)(x)=f(x)+g(x)                             =(x+1)+(x2−2x+5)        =x+1+x2−2x+5                =x2−x+6                                

Graphiquement :

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g et celle de la fonction f+g.
Sur le premier graphique, on lit que f(2)=3 et que g(2)=5. Sur le deuxième, on lit que (f+g)(2)=8.
3+5=8, donc f(2)+g(2)=(f+g)(2).
On peut vérifier aussi que f(1)+g(1)=(f+g)(1).
Calculer :
f(1)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
g(1)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
(f+g)(1)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

A vous !

Dans les deux exercices, a(x)=3x2−5x+2 et b(x)=x2+8x−10

Exercice 1

Établir l'expression de la fonction a+b.
 

Exercice 2

Calculer (a+b)(−1).
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Définir la fonction différence

On opère de façon analogue pour la fonction différence.

Exemple

p(t)=2t−1 et q(t)=−t2−4t−1.
On calcule (q−p)(t).

Réponse

Ici encore, il faut bien comprendre la notation (q−p)(t).
Par définition, (q−p)(t)=q(t)−p(t).
=(q−p)(t)=q(t)−p(t).=(−t2−4t−1)−(2t−1).=−t2−4t−1−2t+1=−t2−6t
Donc (q−p)(t)=−t2−6t.

A vous !

Exercice 3

j(n)=3n3−n2+8
k(n)=−8n2+3n−5
Calculer (j−k)(n).
 

Exercice 4

g(x)=4x2−7x+2
h(x)=2x−5
Calculer (h−g)(3).
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Une application

Une université a établi que si on prend comme année initiale l'année 1980, les fonctions g et f qui à l'année t font respectivement correspondre le nombre de garçons et le nombre de filles reçus aux examens de fin d'année sont définies par g(t)=526−t et f(t)=474+2t.
On appelle n la fonction qui à l'année t fait correspondre le nombre d'étudiants reçus à leurs examens de fin d'année dans cette université.
Établir l'expression de n(t).
n(t)=

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g :
Laquelle de ces deux courbes est celle de la fonction f+g ?
Choisissez une seule réponse :

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