Les quatre opérations et les fonctions

Se familiariser avec l’idée que l'on peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser deux fonctions pour en définir une nouvelle.
De même que l'on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les nombres, on peut additionner, soustraire, multiplier et diviser les fonctions.

La somme de deux fonctions

1re Partie : Définir la fonction somme de deux fonctions

Si ff est la fonction telle que f(x)=x+1f(x)= x+1 et gg la fonction telle que g(x)=2xg(x)=2x, par définition la fonction somme f+gf+g est la fonction telle que (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f+g)(x)=f(x)+g(x).
On appelle hh cette fonction somme :
h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=3x+1{h(x)}=(f+g)(x)={f(x)}+{g(x)}{=3x+1}

2e Partie : Calculer l'image d'un nombre par une fonction somme

On peut bien sûr calculer la valeur d'une fonction somme pour une valeur particulière de la variable. Par exemple on peut chercher l'image de 22 par la fonction hh. Il y a deux façons de procéder.
Méthode 1 : On remplace xx par 22 dans l'expression de la fonction hh.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
Méthode 2 : On peut aussi calculer f(2)f(2) et g(2)g(2) et additionner les résultats.
h(x)=f(x)+g(x)h(x)=f(x)+g(x), donc h(2)h(2) est égal à f(2)+g(2)f(2) +g(2).
On calcule f(2)f(2) :
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
On calcule g(2)g(2) :
g(x)=2xg(2)=2×2=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\times 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Donc f(2)+g(2)=3+4=7f(2)+g(2)=3+4=\greenD7.
Les deux méthodes conduisent au même résultat !

A vous !

Dans les deux exercices, f(x)=3x+2f(x)=3x+2 et g(x)=x3g(x)=x-3.

Exercice 1

Exercice 2

Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?

Ci-dessous les droites représentatives des fonctions affines mm etnn.
On lit sur les graphiques que m(4)=2m(4)=2 et n(4)=5n(4)=5.
Voici la droite représentative de la fonction somme p=m+np=m+n. On lit que p(4)=2+5=7p(4)=\blueD 2+\maroonD 5=\purpleD7
Vous pouvez vérifier en lisant les graphiques que pour tout xx, p(x)=m(x)+n(x)p(x) = m(x) + n(x)

A vous !

Exercice 3

Ci dessous les courbes représentatives des fonctions ff et gg :

Et les trois autres opérations ?

Jusqu'ici nous n'avons traité que des fonctions sommes, mais on peut aussi définir la différence, le produit ou le quotient de deux fonctions.
Par exemple si ff et gg sont les fonctions telles que f(x)=x+3f(x)=x+3 et g(x)=x2g(x)=x-2, on peut définir la fonction somme f+gf+g, mais aussi...,
...la fonction différence
(fg)(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)       =x+3x+2             on a retir les parenthseseˊeˋ=5                                  on a rduit les termes semblableseˊ\begin{aligned}(f-g)(x)=f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a retiré les parenthèses}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a réduit les termes semblables}}}\end{aligned}
...la fonction produit
(fg)(x)=f(x)×g(x)=(x+3)(x2)            =x22x+3x6        on a dveloppeˊeˊ=x2+x6                   on a rduit les termes semblableseˊ\begin{aligned}(fg)(x)=f(x)\times g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a développé}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{on a réduit les termes semblables}}}\end{aligned}
...et la fonction quotient.
(f÷g)(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     \begin{aligned}(f\div g)(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
Et on a créé trois nouvelles fonctions !

Un dernier exercice

p(t)=t+2p(t) = t + 2
q(t)=t1q(t) = t - 1
r(t)=tr(t) = t
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