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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1

Leçon 1: Opérations sur les fonctions

Multiplier ou diviser deux fonctions

Voir comment on peut multiplier ou diviser deux fonctions pour en créer une nouvelle.

On peut additionner ou soustraire deux fonctions mais on peut aussi les multiplier et les diviser. A partir de deux fonctions

f

g

, on peut définir les fonctions

f \times g

\frac{f}{g}

Définir la fonction produit

Exemple

On prend un exemple.

f

g

sont les fonctions telles que

f (x) = 2 x - 3

g (x) = x + 1

, établir l'expression de

(f \times g) (x)

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation

(f \times g) (x)

f \times g

est la fonction qui à

x

fait correspondre le produit de

f (x)

et de

g (x)

. Autrement dit

(f \times g) (x) = f (x) \times g (x)

Donc ce n'est pas difficile !

\begin{aligned} (f \times g) (x) & = f (x) \times g (x) \\ = (2 x - 3) \times (x + 1) \\ = 2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 \\ = 2 x^{2} - x - 3 \end{aligned}

Remarque : On a réduit le polynôme mais ce n'est pas obligatoire.

A vous !

Exercice 1

\begin{aligned} c (y) = 3 y - 4 \\ d (y) = 3 - 2 y \end{aligned}

Calculer $(c \times d) (y)$ ‍.

Exercice 2

\begin{aligned} m (x) = x^{2} - 3 x \\ n (x) = x - 5 \end{aligned}

Calculer $(m \times n) (- 1)$ ‍.

Définir la fonction quotient

On opère de façon analogue pour définir une fonction quotient.

Exemple

h (n) = 2 n - 1

j (n) = n + 3

Quelle est l'expression de

(\frac{j}{h}) (n)

Réponse

Par définition,

(\frac{j}{h}) (n) = \frac{j (n)}{h (n)}

Donc :

\begin{aligned} (\frac{j}{h}) (n) & = \frac{j (n)}{h (n)} \\ = \frac{n + 3}{2 n - 1} \end{aligned}

Deux remarques importantes :

On ne peut pas simplifier cette fraction.
Si $n = \frac{1}{2}$ ‍ alors $2 n - 1 = 0$ ‍ donc le dénominateur de la fraction est égal à $0$ ‍. Or on ne peut pas diviser par $0$ ‍, donc la fonction $j / h$ ‍ n'est pas définie pour $n = \frac{1}{2}$ ‍.

A vous !

Exercice 3

\begin{aligned} g (t) = t^{2} - 4 \\ h (t) = t + 8 \end{aligned}

Calculer $(\frac{g}{h}) (t)$ ‍.

Exercice 4

\begin{aligned} p (r) = 5 r - 2 \\ q (r) = r + 2 \end{aligned}

Calculer $(\frac{p}{q}) (4)$ ‍.

Exercice 5

\begin{aligned} f (x) = x + 4 \\ g (x) = x - 3 \end{aligned}

Quelle est la valeur de $x$ ‍ pour laquelle $(\frac{f}{g}) (x)$ ‍ n'est pas définie ?

Une application

Le temps que Jonathan consacre à son jogging et la distance qu'il parcourt est fonction du nombre d'heures où il travaille. Les fonctions qui au nombre

h

de ses heures de travail font correspondre la distance

D

, en km, qu'il parcourt et la durée

T

, en minutes, de son jogging et sont respectivement

D (h) = - 0, 5 h + 8, 5

T (h) = - 6 h + 90

Soit

v

la fonction au nombre

h

de ses heures de travail fait correspondre la vitesse moyenne à laquelle il court durant son jogging.

Exercice 6

Laquelle de ces deux expressions est celle de la fonction $v ?$ ‍

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions

f

g

Laquelle de ces deux courbes est celle de la fonction $f \times g ?$ ‍

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