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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 1: Opérations sur les fonctions
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Opérations sur les fonctions
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Multiplier ou diviser deux fonctions

Google Classroom
Voir comment on peut multiplier ou diviser deux fonctions pour en créer une nouvelle.
On peut additionner ou soustraire deux fonctions mais on peut aussi les multiplier et les diviser. A partir de deux fonctions f et g, on peut définir les fonctions f, times, g et start fraction, f, divided by, g, end fraction

Définir la fonction produit

Exemple

On prend un exemple.
f et g sont les fonctions telles que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 3 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1, établir l'expression de left parenthesis, f, times, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation left parenthesis, f, times, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.
f, times, g est la fonction qui à x fait correspondre le produit de f, left parenthesis, x, right parenthesis et de g, left parenthesis, x, right parenthesis. Autrement dit left parenthesis, f, times, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, times, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Donc ce n'est pas difficile !
(f×g)(x)=f(x)×g(x)=(2x−3)×(x+1)=2x2+2x−3x−3=2x2−x−3\begin{aligned} (f\times g)(x) &= f(x)\times g(x)&\gray{\text{}} \\\\ &= \left(2x-3\right)\times\left(x+1\right) &\gray{\text{}} \\\\ &= 2x^2+2x-3x-3&\gray{\text{}} \\\\ &=2x^2-x-3&\gray{\text{}} \end{aligned}
Remarque : On a réduit le polynôme mais ce n'est pas obligatoire.

A vous !

Exercice 1
c(y)=3y−4d(y)=3−2y\begin{aligned} &c(y)=3y-4 \\\\ &d(y)=3-2y \end{aligned}
Calculer left parenthesis, c, times, d, right parenthesis, left parenthesis, y, right parenthesis.
 

Exercice 2
m(x)=x2−3xn(x)=x−5\begin{aligned} &m(x)=x^2-3x \\\\ &n(x)=x-5 \end{aligned}
Calculer left parenthesis, m, times, n, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Définir la fonction quotient

On opère de façon analogue pour définir une fonction quotient.

Exemple

h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, n, minus, 1 et j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, n, plus, 3.
Quelle est l'expression de left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis ?

Réponse

Par définition, left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start fraction, j, left parenthesis, n, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, n, right parenthesis, end fraction.
Donc :
(jh)(n)=j(n)h(n)=n+32n−1 \begin{aligned} \left(\dfrac{j}{h}\right)(n)&=\dfrac{j(n)}{h(n)}&\gray{\text{}} \\\\ &= \dfrac{n+3}{2n-1}&\gray{\text{ }} \end{aligned}
Deux remarques importantes :
  1. On ne peut pas simplifier cette fraction.
  2. Si n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction alors 2, n, minus, 1, equals, 0 donc le dénominateur de la fraction est égal à 0. Or on ne peut pas diviser par 0, donc la fonction j, slash, h n'est pas définie pour n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.

A vous !

Exercice 3
g(t)=t2−4h(t)=t+8\begin{aligned} &g(t)=t^2-4 \\\\ &h(t)=t+8 \end{aligned}
Calculer left parenthesis, start fraction, g, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.
 

Exercice 4
p(r)=5r−2q(r)=r+2\begin{aligned} &p(r)=5r-2 \\\\ &q(r)=r+2 \end{aligned}
Calculer left parenthesis, start fraction, p, divided by, q, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 4, right parenthesis.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 5
f(x)=x+4g(x)=x−3\begin{aligned} &f(x)=x+4 \\\\ &g(x)=x-3 \end{aligned}
Quelle est la valeur de x pour laquelle left parenthesis, start fraction, f, divided by, g, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis n'est pas définie ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Une application

Le temps que Jonathan consacre à son jogging et la distance qu'il parcourt est fonction du nombre d'heures où il travaille. Les fonctions qui au nombre h de ses heures de travail font correspondre la distance D, en km, qu'il parcourt et la durée T, en minutes, de son jogging et sont respectivement D, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 0, comma, 5, h, plus, 8, comma, 5 et T, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 6, h, plus, 90.
Soit v la fonction au nombre h de ses heures de travail fait correspondre la vitesse moyenne à laquelle il court durant son jogging.
Exercice 6
Laquelle de ces deux expressions est celle de la fonction v, question mark
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice
Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g :
Laquelle de ces deux courbes est celle de la fonction f, times, g, space, question mark
Choisissez une seule réponse :

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