Voir comment on peut multiplier ou diviser deux fonctions pour en créer une nouvelle.
On peut additionner ou soustraire deux fonctions mais on peut aussi les multiplier et les diviser. A partir de deux fonctions ff et gg, on peut définir les fonctions f×gf\times g et fg\dfrac{f}{g}

Définir la fonction produit

Exemple

On prend un exemple.
ff et gg sont les fonctions telles que f(x)=2x3f(x)=2x-3 et g(x)=x+1g(x)=x+1, établir l'expression de (f×g)(x)(f\times g)(x).

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation (f×g)(x)(f\times g)(x).
f×gf\times g est la fonction qui à xx fait correspondre le produit de f(x)f(x) et de g(x)g(x). Autrement dit (f×g)(x)=f(x)×g(x)(f\times g)(x)=f(x)\times g(x).
Donc ce n'est pas difficile !
(f×g)(x)=f(x)×g(x)=(2x3)×(x+1)=2x2+2x3x3=2x2x3\begin{aligned} (f\times g)(x) &= f(x)\times g(x)&\gray{\text{}} \\\\ &= \left(2x-3\right)\times\left(x+1\right) &\gray{\text{}} \\\\ &= 2x^2+2x-3x-3&\gray{\text{}} \\\\ &=2x^2-x-3&\gray{\text{}} \end{aligned}
Remarque : On a réduit le polynôme mais ce n'est pas obligatoire.

A vous !

Définir la fonction quotient

On opère de façon analogue pour définir une fonction quotient.

Exemple

h(n)=2n1h(n)=2n-1 et j(n)=n+3j(n)=n+3.
Quelle est l'expression de (jh)(n)\left(\dfrac{j}{h}\right)(n) ?

Réponse

Par définition, (jh)(n)=j(n)h(n)\left(\dfrac{j}{h}\right)(n)=\dfrac{j(n)}{h(n)}.
Donc :
(jh)(n)=j(n)h(n)=n+32n1 \begin{aligned} \left(\dfrac{j}{h}\right)(n)&=\dfrac{j(n)}{h(n)}&\gray{\text{}} \\\\ &= \dfrac{n+3}{2n-1}&\gray{\text{ }} \end{aligned}
Deux remarques importantes :
  1. On ne peut pas simplifier cette fraction.
  2. Si n=12n=\dfrac12 alors 2n1=02n-1=0 donc le dénominateur de la fraction est égal à 00. Or on ne peut pas diviser par 00, donc la fonction j/hj/h n'est pas définie pour n=12n=\dfrac12.

A vous !

Une application

Le temps que Jonathan consacre à son jogging et la distance qu'il parcourt est fonction du nombre d'heures où il travaille. Les fonctions qui au nombre hh de ses heures de travail font correspondre la distance DD, en km, qu'il parcourt et la durée TT, en minutes, de son jogging et sont respectivement D(h)=0,5h+8,5D(h)=-0{,}5h+8{,}5 et T(h)=6h+90T(h)=-6h+90.
Soit vv la fonction au nombre hh de ses heures de travail fait correspondre la vitesse moyenne à laquelle il court durant son jogging.
Chargement