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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 2: Fonctions composées
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Fonctions composées
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Définir la composée de deux fonctions

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Apprendre comment composer deux fonctions grâce à un exemple concret inspiré du travail agricole.

Roland est agriculteur. Chaque année il cultive du maïs. Sa production est représentée par une fonction C, qui donne sa récolte, en kg, en fonction de la surface cultivée, a, en hectares.
C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500
S'il cultive 2 hectares, par exemple, il produira C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, ×, 2, minus, 1500, equals, 13, space, 500 start text, k, g, end text de maïs.
Ce qui l'intéresse maintenant c'est de savoir combien lui rapportera la vente de sa récolte. Il utilise donc une fonction, M, qui donne son revenu, en euros, en fonction de la masse de maïs vendue, c, en kg.
M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50
Donc s'il produit 13, space, 500, start text, space, k, g, end text de blé, son revenu sera M, left parenthesis, 13, space, 500, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, ×, 13, space, 500, minus, 50, equals, 12, space, 100 €.
Roland a donc besoin de deux fonctions distinctes pour évaluer son revenu en fonction de la surface cultivée. Une première fonction, C, qui aux hectares cultivés fait correspondre une production en kilogrammes et une deuxième fonction, M, qui aux kilogrammes récoltés fait correspondre un gain en euros.
Peut-on définir une fonction qui au nombre d'hectares cultivés fait correspondre directement le revenu de Roland ?

On définit une nouvelle fonction

On peut effectivement écrire la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre directement le revenu de la vente de la production ! Pour cela, une question primordiale : Combien Roland devrait-il gagner en cultivant a hectares de terre ?
Si Roland cultive a hectares, il produira C, left parenthesis, a, right parenthesis kilo de maïs. Et s'il produit C, left parenthesis, a, right parenthesis kilo de maïs, il gagnera M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis euros.
Pour avoir la fonction qui a a hectares fait correspondre le revenu en euros, il suffit d'expliciter M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
Mais comment faire ? L'écriture M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis, signifie que par la fonction M, on a l'image de start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54. Il faut donc remplacer start color #e07d10, c, end color #e07d10 par start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 dans l'expression de M.
M(c)=0,9c−50M(C(a))=0,9(C(a))−50=0,9(7500a−1500)−50          car C(a)=7500a−1500=6750a−1350−50=6750a−1400\begin{aligned} M(\goldD c)&=0{,}9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0{,}9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0{,}9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{car }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}
Donc la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre le revenu de Roland, est définie par M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400. Essayons, avec deux hectares cultivés, de savoir ce que gagnera Roland :
M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6, space, 750, ×, 2, minus, 1, space, 400, equals, 12, space, 100, space, €
On a obtenu 12, space, 100, space, €, c'est bien le bon résultat !

La fonction obtenue est la fonction composée C suivie de M

La fonction que l'on vient d'obtenir est appelée une fonction composée. Connaissant le nombre d'hectares cultivés en blé, cette fonction a permis de calculer directement le revenu correspondant au lieu d'utiliser une première fonction pour calculer la récolte de blé, puis une deuxième fonction pour calculer le revenu procuré par cette récolte.
Pour cela, on a établi l'expression de M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Cette fonction composée est notée M, circle, C, qui se lit "M rond C" ou "C suivie de M".
Par définition left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.

Un schéma pour bien comprendre

Voici un schéma :
Si on utilise la fonction C, puis la fonction M, alors l'image de 2 par la fonction C est 13, space, 500, et l'image de 13, space, 500 par la fonction M est 12, space, 100, start text, space, €, end text.
Si on utilise la fonction M, circle, C, alors on obtient directement que l'image de 2 est 12, space, 100, start text, space, €, end text.
On obtient le même résultat par les deux méthodes.

À vous !

Exercice 1

Si Roland, l'agriculteur de l'exemple ci-dessus, cultive du blé sur 1, comma, 5 start text, h, a, end text, quel revenu en tirera-t-il ?
Rappel : C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500, M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50 et M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400
En cultivant 1, comma, 5, start text, space, h, a, end text, Roland gagnera
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
€.

Exercice 2

Ben est producteur de pommes de terre. La fonction P qui à la surface cultivée, a, en hectares, fait correspondre sa récolte en start text, k, g, end text, est définie par P, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25, space, 000, a, minus, 1000 et la fonction M qui à la production de p, start text, space, k, g, end text de pommes de terre fait correspondre le revenu qu'il en tire est définie par M, left parenthesis, p, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, p, minus, 200.
Combien Ben gagnera-t-il s'il vend une production de 3, start text, space, h, a, end text de pommes de terre ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3

Quelle expression donne directement le revenu en fonction de a, la surface de pommes de terre cultivée ?
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