Roland est agriculteur. Chaque année il cultive du maïs. Sa production est représentée par une fonction $C$‍, qui donne sa récolte, en kg, en fonction de la surface cultivée, $a$‍, en hectares.

S'il cultive $2$‍ hectares, par exemple, il produira $C(2)=7500\times 2-1500=13500$‍ $\text{kg}$‍ de maïs.

Ce qui l'intéresse maintenant c'est de savoir combien lui rapportera la vente de sa récolte. Il utilise donc une fonction, $M$‍, qui donne son revenu, en euros, en fonction de la masse de maïs vendue, $c$‍, en kg.

Donc s'il produit $13500\text{ kg}$‍ de blé, son revenu sera $M(13500)=0,9\times 13500-50=12100$‍ €.

Roland a donc besoin de deux fonctions distinctes pour évaluer son revenu en fonction de la surface cultivée. Une première fonction, $C$‍, qui aux hectares cultivés fait correspondre une production en kilogrammes et une deuxième fonction, $M$‍, qui aux kilogrammes récoltés fait correspondre un gain en euros.

Peut-on définir une fonction qui au nombre d'hectares cultivés fait correspondre directement le revenu de Roland ?

On peut effectivement écrire la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre directement le revenu de la vente de la production ! Pour cela, une question primordiale : Combien Roland devrait-il gagner en cultivant $a$‍ hectares de terre ?

Si Roland cultive $a$‍ hectares, il produira $C(a)$‍ kilo de maïs. Et s'il produit $C(a)$‍ kilo de maïs, il gagnera $M(C(a))$‍ euros.

Pour avoir la fonction qui a $a$‍ hectares fait correspondre le revenu en euros, il suffit d'expliciter $M(C(a))$‍.

Mais comment faire ? L'écriture $M(C(a))$‍, signifie que par la fonction $M$‍, on a l'image de $C(a)$‍. Il faut donc remplacer $c$‍ par $C(a)$‍ dans l'expression de $M$‍.

Donc la fonction qui à la surface cultivée fait correspondre le revenu de Roland, est définie par $M(C(a))=6750a-1400$‍. Essayons, avec deux hectares cultivés, de savoir ce que gagnera Roland :

On a obtenu $12100\text{€}$‍, c'est bien le bon résultat !

La fonction que l'on vient d'obtenir est appelée une fonction composée. Connaissant le nombre d'hectares cultivés en blé, cette fonction a permis de calculer directement le revenu correspondant au lieu d'utiliser une première fonction pour calculer la récolte de blé, puis une deuxième fonction pour calculer le revenu procuré par cette récolte.

Pour cela, on a établi l'expression de $M(C(a))$‍. Cette fonction composée est notée $M\circ C$‍, qui se lit "$M$‍ rond $C$‍" ou "$C$‍ suivie de $M$‍".

Par définition $(M\circ C)(a)=M(C(a))$‍.

Voici un schéma :

Si on utilise la fonction $C$‍, puis la fonction $M$‍, alors l'image de $2$‍ par la fonction $C$‍ est $13500$‍, et l'image de $13500$‍ par la fonction $M$‍ est $12100\text{€}$‍.

Si on utilise la fonction $M\circ C$‍, alors on obtient directement que l'image de $2$‍ est $12100\text{€}$‍.

On obtient le même résultat par les deux méthodes.

Ben est producteur de pommes de terre. La fonction $P$‍ qui à la surface cultivée, $a$‍, en hectares, fait correspondre sa récolte en $\text{kg}$‍, est définie par $P(a)=25000a-1000$‍ et la fonction $M$‍ qui à la production de $p\text{ kg}$‍ de pommes de terre fait correspondre le revenu qu'il en tire est définie par $M(p)=0,2p-200$‍.