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Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 6: Les fonctions réciproques
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Les fonctions réciproques
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Fonctions réciproques l'une de l'autre

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Qu'appelle-t-on la fonction réciproque d'une fonction donnée ? Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques.
On dit fonctions réciproques l'une de l'autre car si la fonction g est la réciproque de la fonction f, alors f est la réciproque de g.
Par exemple, la fonction f dont le diagramme sagittal est ci-dessous est la fonction qui à 1 fait correspondre x, à 2 fait correspondre z et à 3 fait correspondre y,
La fonction réciproque de f, notée f−1, est la fonction qui à x fait correspondre 1, à z fait correspondre 2 et à y fait correspondre 3, L'ensemble de départ de la fonction f−1 est l'ensemble d'arrivée de la fonction f et son ensemble d'arrivée est l'ensemble de départ de la fonction f.
Une question
Laquelle de ces deux propositions est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Définition

Si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction f−1 est a.
On en déduit que :

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Voici deux exemples d'application de cette définition.

Exemple 1 : Une fonction donnée par son diagramme saggital

Soit la fonction h définie par ce diagramme sagittal. Quelle est l'image de 9 par la fonction h−1 ?

Réponse

Il faut bien avoir présent à l'esprit que les éléments de l'ensemble de définition de la fonction réciproque d'une fonction donnée sont les éléments de l'ensemble image de la fonction donnée.
Par définition, si h−1(9)=x, alors h(x)=9, donc l'image de 9 par la fonction h−1 est le nombre qui a comme image 9 par la fonction h.
On lit sur le diagramme sagittal de la fonction h que h(6)=9, donc h−1(9)=6.

À vous !

Exercice 1
g−1(3)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2 : Une fonction donnée par sa courbe représentative

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction g. Quelle est l'image de −7 par la fonction g−1 ?

Réponse

Par définition, si g−1(−7)=x, alors g(x)=−7, donc l'image de −7 par la fonction g−1 est le nombre qui a comme image −7 par la fonction g.
On lit sur le graphique que g(−3)=−7.
Donc, g−1(−7)=−3.

À vous !

Exercice 2
Quelle est l'image de 4 par la fonction h−1 ?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice
f est la fonction définie par f(x)=3x−2. Quelle est l'image de 7 par f−1 ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?

On peut se demander si les courbes représentatives de deux fonctions réciproques ont une propriété particulière.
Soit la fonction f dont on donne la courbe représentative et un tableau de valeurs.
xf(x)
−214
−112
01
12
24
On peut déduire d'un tableau de valeurs de la fonction f un tableau de valeurs de la fonction f−1. Et de chacun des points de la courbe représentative de f, on peut déduire un point de la courbe représentative de f−1, car si le point de coordonnées (a ;b) est sur la courbe de f, alors le point de coordonnées (b ;a) est sur la courbe de f−1.
On obtient :
xf−1(x)
14−2
12−1
10
21
42
Si on représente les deux courbes sur le même graphique, on voit qu'elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation y=x.
Ceci est un résultat général : les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

À vous !

Exercice 3
Voici la droite d'équation y=h(x).
Sur lequel de ces graphiques est représentée la droite d'équation y=h−1(x) ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
La représentation graphique de la fonction h est le segment de droite d'extrémités les points de coordonnées (5 ;1) et (2 ;7).
Déplacer les extrémités du segment jaune de façon à obtenir la représentation graphique de la fonction h−1.

Quelle est l'utilité d'étudier la fonction réciproque ?

Si à priori cela peut paraître un pur jeu de l'esprit, en fait on s'en sert très souvent !
Un exemple simple : pour convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, on utilise la formule C=59(F−32).
Quand on utilise cette formule, on utilise la fonction qui à F, valeur de la température en degrés Fahrenheit, fait correspondre C, sa valeur en degrés Celsius. Quand on transforme cette formule pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit on obtient F=95C+32, et ceci est l'expression de la fonction réciproque de la fonction précédente.
Et chaque fois que connaissant y en fonction de x, on en déduit l'expression de x en fonction de y, c'est la même idée qui est en jeu.

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