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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 8: Démontrer que deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Démontrer que deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre
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Démontrer que deux fonctions sont réciproques en explicitant leurs composées

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Apprendre à vérifier si deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre en les composant. En exemple : f (x) = 5 x-7 et g (x) = x / 5 + 7.
Cette leçon fait appel à la composition de deux fonctions. Si vous souhaitez revoir d'abord une vidéo sur ce sujet, cliquez ici.
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f−1.
Soient les fonctions f et g définies par : f(x)=x+13 et g(x)=3x−1.
f(5)=2 et g(2)=5.
L'image de 5 par la fonction f suivie de g est 5. Ce qui s'écrit g(f(5))=5.
Mais on ne pourra affirmer que f et g sont réciproques l'une de l'autre que si l'on démontre que ce résultat est vrai pour toute valeur de x.

Théorème

Les fonctions f et g sont réciproques équivaut à :
  • Quel que soit x appartenant à l'ensemble de définition de g, f(g(x))=x
  • Quel que soit x appartenant à l'ensemble de définition de f, g(f(x))=x
Les composées de deux fonctions réciproques sont toutes deux égales à la fonction identité.

Exemple 1 : Les fonctions f et g sont des fonctions réciproques

On utilise le théorème pour démontrer que les fonctions f et g dont il a été question plus haut sont bien des fonctions réciproques.
f(x)=x+13 et g(x)=3x−1.
On établit les expressions de f(g(x)) et g(f(x)).
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=xg(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x
f(g(x))=x et g(f(x))=x, donc f et g sont réciproques l'une de l'autre.

Exemple 2 : Deux fonctions f et g qui ne sont pas des fonctions réciproques

Si f(g(x)) est différent de x ou si g(f(x)) l'est, alors f et g ne sont pas des fonctions réciproques.
Soient les fonctions f et g définies par : f(x)=5x−7 et g(x)=x5+7.
f(g(x))g(f(x))
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285
f(g(x))≠x et g(f(x))≠x, donc f et g ne sont pas des fonctions réciproques.
Remarque : comme f(g(x))=x+28, il n'est pas nécessaire d'expliciter aussi g(f(x)) pour conclure que f et g ne sont pas des fonctions réciproques.

À vous !

De façon générale, une méthode pour établir que deux fonctions sont réciproques est d'expliciter leurs composées.

1) f(x)=2x+7 et h(x)=x−72

Établir les expressions de f(h(x)) et de h(f(x)) en fonction de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
f et h sont-elles des fonctions réciproques ?
Choisissez une seule réponse :

2) f(x)=4x+10 et g(x)=14x−10

Établir les expressions de f(g(x)) et de g(f(x)) en fonction de x.
f(g(x))=
g(f(x))=
f et g sont-elles des fonctions réciproques ?
Choisissez une seule réponse :

3) f(x)=23x−8 et h(x)=32(x+8)

Établir les expressions de f(h(x)) et de h(f(x)) en fonction de x.
f(h(x))=
h(f(x))=
f et h sont-elles des fonctions réciproques ?
Choisissez une seule réponse :

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