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Algèbre III
Cours : Algèbre III > Chapitre 1
Leçon 8: Démontrer que deux fonctions sont réciproques l'une de l'autreDémontrer que deux fonctions sont réciproques en explicitant leurs composées
Apprendre à vérifier si deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre en les composant. En exemple : f (x) = 5 x-7 et g (x) = x / 5 + 7.
Cette leçon fait appel à la composition de deux fonctions. Si vous souhaitez revoir d'abord une vidéo sur ce sujet, cliquez ici.
Deux fonctions et sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit , si l'image de par la fonction est , alors l'image de par la fonction est . La notation de la réciproque de est .
Soient les fonctions et définies par : et .
L'image de par la fonction suivie de est . Ce qui s'écrit .
Mais on ne pourra affirmer que et sont réciproques l'une de l'autre que si l'on démontre que ce résultat est vrai pour toute valeur de .
Théorème
Les fonctions et sont réciproques équivaut à :
- Quel que soit
appartenant à l'ensemble de définition de , - Quel que soit
appartenant à l'ensemble de définition de ,
Les composées de deux fonctions réciproques sont toutes deux égales à la fonction identité.
Exemple 1 : Les fonctions et sont des fonctions réciproques
On utilise le théorème pour démontrer que les fonctions et dont il a été question plus haut sont bien des fonctions réciproques.
On établit les expressions de et .
Exemple 2 : Deux fonctions et qui ne sont pas des fonctions réciproques
Si est différent de ou si l'est, alors et ne sont pas des fonctions réciproques.
Soient les fonctions et définies par : et .
Remarque : comme , il n'est pas nécessaire d'expliciter aussi pour conclure que et ne sont pas des fonctions réciproques.
À vous !
De façon générale, une méthode pour établir que deux fonctions sont réciproques est d'expliciter leurs composées.
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