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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 1 

Leçon 8: Démontrer que deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions
Démontrer que deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre
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Démontrer que deux fonctions sont réciproques en explicitant leurs composées

Google Classroom
Apprendre à vérifier si deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre en les composant. En exemple : f (x) = 5 x-7 et g (x) = x / 5 + 7.
Cette leçon fait appel à la composition de deux fonctions. Si vous souhaitez revoir d'abord une vidéo sur ce sujet, cliquez ici.
Deux fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre équivaut à : quel que soit a, si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction g est a. La notation de la réciproque de f est f, start superscript, minus, 1, end superscript.
Soient les fonctions f et g définies par : f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 et g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
L'image de 5 par la fonction f suivie de g est 5. Ce qui s'écrit g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
Mais on ne pourra affirmer que f et g sont réciproques l'une de l'autre que si l'on démontre que ce résultat est vrai pour toute valeur de x.

Théorème

Les fonctions f et g sont réciproques équivaut à :
  • Quel que soit x appartenant à l'ensemble de définition de g, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x
  • Quel que soit x appartenant à l'ensemble de définition de f, g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x
Les composées de deux fonctions réciproques sont toutes deux égales à la fonction identité.

Exemple 1 : Les fonctions f et g sont des fonctions réciproques

On utilise le théorème pour démontrer que les fonctions f et g dont il a été question plus haut sont bien des fonctions réciproques.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
On établit les expressions de f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x et g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, donc f et g sont réciproques l'une de l'autre.

Exemple 2 : Deux fonctions f et g qui ne sont pas des fonctions réciproques

Si f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis est différent de x ou si g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis l'est, alors f et g ne sont pas des fonctions réciproques.
Soient les fonctions f et g définies par : f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x et g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x, donc f et g ne sont pas des fonctions réciproques.
Remarque : comme f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28, il n'est pas nécessaire d'expliciter aussi g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis pour conclure que f et g ne sont pas des fonctions réciproques.

À vous !

De façon générale, une méthode pour établir que deux fonctions sont réciproques est d'expliciter leurs composées.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 et h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

Établir les expressions de f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et de h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en fonction de x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f et h sont-elles des fonctions réciproques ?
Choisissez une seule réponse :

2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 et g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

Établir les expressions de f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et de g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en fonction de x.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f et g sont-elles des fonctions réciproques ?
Choisissez une seule réponse :

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 et h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

Établir les expressions de f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis et de h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis en fonction de x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
f et h sont-elles des fonctions réciproques ?
Choisissez une seule réponse :

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