La courbe représentative d'une fonction polynôme : trois exercices qui sont autant de défis

On ne connaît pas les valeurs de $a$‍, $b$‍ et $c$‍, donc on ne peut pas calculer les limites de la fonction à l'infini, ni les abscisses des points communs à la courbe de la fonction et à l'axe des $x$‍. Et on ne peut pas non plus déterminer le signe de la fonction sur $ℝ$‍.

Mais on sait que le terme constant est $2$‍. Donc si $x=0$‍, alors $y=2$‍. On en déduit que le point d'intersection de la courbe de la fonction avec l'axe des $y$‍ est le point d'ordonnée $2$‍.

Seule la courbe $C$‍ coupe l'axe des $y$‍ au point d'ordonnée $2$‍, donc seule la courbe $C$‍ peut être la courbe représentative de la fonction.

Ici, comme on ne connaît pas le polynôme $p(x)$‍, on ne peut pas trouver les points d'intersections de la courbe représentative de la fonction avec les axes, ni déterminer le signe de la fonction sur $ℝ$‍.

Mais on peut calculer ses limites à l'infini. En effet, puisque le polynôme $p(x)$‍ est de degré $4$‍, le terme de plus haut degré de cette fonction polynôme est $-2x^5$‍.

Donc quand $x$‍ tend vers $-\infty$‍ ou quand $x$‍ tend vers $+\infty$‍, les limites de $-2x^5+p(x)$‍ sont les mêmes que celles de $-2x^5$‍.

Le degré de $-2x^5$‍ est $5$‍, donc il est impair et le coefficient $-2$‍ est négatif, donc :

On en déduit que seule la courbe $B$‍ peut être la courbe représentative de la fonction.

On ne connaît pas la valeur de $k$‍, donc on ne peut pas calculer l'ordonnée du point d'intersection de la courbe représentative de la fonction avec l'axe des $y$‍, ni les limites de la fonction à l'infini. On ne peut pas non plus déterminer le signe de cette fonction sur $ℝ$‍.

Mais on sait que $2$‍ est une racine multiple d'ordre pair. Donc on sait que la courbe représentative de la fonction est tangente à l'axe des $x$‍ au point de coordonnées $(2,0)$‍.

On sait aussi que $-1$‍ est une racine multiple d'ordre impair. Donc on sait que la courbe représentative de la fonction coupe l'axe des $x$‍ au point de coordonnées $(-1,0)$‍.

Donc les réponses sont la courbe $A$‍ et la courbe $D$‍.