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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 4 

Leçon 15: Parité d'une fonction polynôme
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions polynômes
Parité d'une fonction polynôme
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Parité d'une fonction polynôme

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Prérequis :

La fonction f est paire équivaut à "la courbe représentative def est symétrique par rapport à l'axe des y".
f est une fonction paire équivaut à "pour tout x, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis".
La fonction f est impaire équivaut à "la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine".
f est une fonction impaire équivaut à "pour tout x, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis".

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la parité d'une fonction polynôme.

Le cas où le polynôme est un monôme

Une fonction monôme est de la forme f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, n, end superscript où a est un réel et n un entier positif ou nul.
On va étudier la parité de quelques fonctions monômes et voir si on peut en tirer une règle générale.
Par définition,
  • Si, pour tout x, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, alors f est paire.
  • Si, pour tout x, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, alors f est impaire.
  • Dans les autres cas, elle n'est ni paire, ni impaire.
Par exemple, la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, cubed est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
f(−x)=4(−x)3=4(−x3)car(−x)3=−x3=−4x3=−f(x)\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=4(\blueD{-x})^3\\ \\ &=4(-x^3)&&\small{\gray{car (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=-4x^3&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=-f(x)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \end{aligned}
Pour tout x, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, donc la fonction f est impaire.
Que répondez vous dans ces deux cas ?
1) La fonction g définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, squared est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

2) La fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 5, end superscript est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

Conclusion

Ces exemples permettent de conjecturer le résultat. On démontre que si f est une fonction monôme de degré pair, alors f est une fonction paire. Et si f est une fonction monôme de degré impair, alors f est une fonction impaire
Fonction paireFonction impaire
Exemples g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscripth, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, start superscript, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, end superscript
Cas généralf, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #aa87ff, n, end color #aa87ff, end superscript où n est start color #aa87ff, start text, p, a, i, r, end text, end color #aa87fff, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, a, x, start superscript, start color #1fab54, n, end color #1fab54, end superscript où n est start color #1fab54, start text, i, m, p, a, i, r, end text, end color #1fab54
La démonstration repose sur le fait que si n est pair, alors pour tout x, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, x, start superscript, n, end superscript et si n est impair, alors pour tout x, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, start superscript, n, end superscript, equals, minus, x, start superscript, n, end superscript
C'est probablement l'origine de ces qualificatifs de "paire ou "impaire" que l'on attribue à une fonction.

La parité d'une fonction polynôme

Voici trois exemples de fonctions polynômes.

Exemple 1 : f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5

On calcule l'expression de f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
f(−x)=2×(−x)4−3(−x)2−5=2×(x4)−3×(x2)−5(−x)n=xn si n est pair=2x4−3x2−5=f(x)\begin{aligned}f(\blueD{-x})&=2×(\blueD{-x})^4-3(\blueD{-x})^2-5\\ \\ &=2×(x^4)-3×(x^2)-5&&\small{\gray{(-x)^n=x^n\text{ si $n$ est pair}}}\\ \\ &=2x^4-3x^2-5&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=f(x)&&\small{\gray{\text{} }} \end{aligned}
Pour tout x, f, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis donc f est paire.
Remarque : tous les termes sont de degré pair.

Exemple 2 : g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x

On calcule l'expression de g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
g(−x)=5×(−x)7−3×(−x)3+(−x)=5×(−x7)−3×(−x3)+(−x)(−x)n=−xn si n est impair=−5x7+3x3−x\begin{aligned}g(\blueD{-x})&=5×(\blueD{-x})^7-3×(\blueD{-x})^3+(\blueD{-x})\\ \\ &=5×(-x^7)-3×(-x^3)+(-x)&&\small{\gray{(-x)^n=-x^n\text{ si $n$ est impair}}}\\ \\ &=-5x^7+3x^3-x&&\small{\gray{\text{}}}\\ \end{aligned}
Chacun des termes de g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis est l'opposé de chacun des termes de g, left parenthesis, x, right parenthesis. Pour tout x, g, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, equals, minus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, donc g est impaire.
Remarque : tous les termes sont de degré impair.

Exemple 3 : h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

On calcule l'expression de h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis.
h(−x)=2×(−x)4−7×(−x)3=2×(x4)−7×(−x3)(−x)4=x4 et (−x)3=−x3=2x4+7x3\begin{aligned}h(\blueD{-x})&=2×(\blueD{-x})^4-7×(\blueD{-x})^3\\ \\ &=2×(x^4)-7×(-x^3)&&\small{\gray{(-x)^4=x^4\text{ et } (-x)^3=-x^3}}\\ \\ &=2x^4+7x^3&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ \end{aligned}
2, x, start superscript, 4, end superscript, plus, 7, x, cubed n'est égal ni à h, left parenthesis, x, right parenthesis ni à l'opposé deh, left parenthesis, x, right parenthesis.
Si x, does not equal, 0, h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, h, left parenthesis, x, right parenthesis et h, left parenthesis, minus, x, right parenthesis, does not equal, minus, h, left parenthesis, x, right parenthesis, donc h n'est ni paire, ni impaire.
Remarque : h, left parenthesis, x, right parenthesis a un terme de degré pair et un terme de degré impair.

Conclusion

De façon générale, la parité d'une fonction polynôme dépend de la parité des exposants de chacun de ses termes.
empty spaceCas généralExemple
PaireUne fonction polynôme est paire si chacun de ses termes est de degré pair.f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, x, squared, minus, 5
ImpaireUne fonction polynôme est impaire si chacun de ses termes est de degré impair.g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 3, x, cubed, plus, x
Ni paire, ni impaireUne fonction polynôme n'est ni paire, ni impaire si certains de ses termes sont de degré pair et les autres de degré impait.h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, cubed

À vous !

3) La fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 7, x, squared, plus, 5 est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

1) La fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8, x, start superscript, 7, end superscript, minus, 6, x, cubed, plus, x, squared est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

1) La fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 10, x, start superscript, 5, end superscript, plus, 2, x, cubed, minus, x est-elle paire, impaire ou ni paire, ni impaire ?
Choisissez une seule réponse :

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