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Algèbre III
Cours : Algèbre III > Chapitre 4
Leçon 11: Les valeurs qui annulent une fonction polynôme et la courbe représentative de cette fonction- Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines
- Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines
- D'autres exercices mettant en jeu les racines d'un polynôme
- Signe d'une fonction polynôme sur un intervalle
- Signe d'une fonction polynôme sur un intervalle
Signe d'une fonction polynôme sur un intervalle
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Prérequis :
Les racines d'une fonction polynôme sont les abscisses des points communs à sa courbe représentative et à l'axe des x.
Par exemple, les racines de la fonction polynôme f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared sont minus, 3 et 1, donc les points d'intersection de la courbe représentative de f avec l'axe des x sont les points de coordonnées left parenthesis, minus, 3, space, ;, 0, right parenthesis et left parenthesis, 1, space, ;, 0, right parenthesis.
Si besoin, reportez-vous à la leçon Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines.
Le sujet traité
Pour tracer la courbe représentative d'une fonction, il ne suffit pas de connaître ses points d'intersection avec l'axe des x.
Il est précieux de savoir si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe des x sur tel ou tel intervalle.
C'est ce que nous allons étudier ici.
Lire sur la courbe représentative d'une fonction quel est son signe sur un intervalle donné
Une fonction polynôme a un signe constant pour toutes les valeurs de la variable comprises entre deux de ses racines consécutives. Elle est soit positive, soit négative.
Par exemple, voici la courbe représentative de la fonction définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
On lit sur le graphique que f est ...
- ...négative si minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
- ...positive si minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
- ...négative si 1, is less than, x, is less than, 3.
- ...positive si 3, is less than, x, is less than, plus, infinity.
Attention, il ne faut pas déduire de cet exemple que si a est une racine d'une fonction polynôme alors cette fonction change de signe en a.
Voici, par exemple, la courbe représentative de la fonction g définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
On lit sur le graphique que g est ...
- ...négative si minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
- ...négative si minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
- ...positive si 0, is less than, x, is less than, infinity.
Mais g ne change pas de signe en minus, 2.
Trouver le signe d'une fonction polynôme
Soit la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Sur quel(s) intervalle(s) est-elle positive ? Sur quel(s) intervalle(s) est-elle négative ?
La fonction f s'annule en minus, 3 et en 1. Ces deux nombres déterminent trois intervalles.
Quel est le signe de f sur close bracket, minus, infinity, comma, minus, 3, open bracket ?
On sait que f est de signe constant sur cet intervalle, donc il suffit de trouver quel est son signe pour une valeur particulière de x appartenant à cet intervalle. On prend minus, 4 et on cherche le signe de f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Il n'est pas nécessaire de calculer la valeur exacte de f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis puisque seul son signe nous intéresse :
f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis est négatif, donc f est négative sur l'intervalle close bracket, minus, infinity, comma, minus, 3, open bracket.
On procède de la même façon pour les deux autres intervalles.
On obtient :
| Intervalle | Signe de f, left parenthesis, x, right parenthesis pour une valeur particulière de x | Signe de f sur l'intervalle | La courbe de f est ... |
|---|---|---|---|
| close bracket, minus, infinity, comma, minus, 3, open bracket | f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0 | négative | en-dessous de l'axe des x |
| close bracket, minus, 3, comma, 1, open bracket | f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0 | positive | au-dessus de l'axe des x |
| close bracket, 1, comma, plus, infinity, open bracket | f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0 | positive | au-dessus de l'axe des x |
Voici la courbe représentative de la fonction f :
À vous !
Un dernier exercice
Y a-t-il une autre façon de déterminer le signe d'une fonction ?
La réponse est oui ! On peut trouver quelle est allure de sa courbe représentative - et donc en déduire son signe - en étudiant son comportement à l'infini et le type de ses racines.
Ceci est traité dans la leçon La courbe représentative d'une fonction polynôme.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Y'a pas une erreur dans l'avant-avant dernier exercice ?
On demande l'intervalle en-5 < x < 2et dans l'aide on fournit la solution pour l'intervalle entre-5 < x < 3!(1 vote)