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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 4 

Leçon 11: Les valeurs qui annulent une fonction polynôme et la courbe représentative de cette fonction
Mathématiques
Algèbre III
Les fonctions polynômes
Les valeurs qui annulent une fonction polynôme et la courbe représentative de cette fonction
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Associer un polynôme à sa représentation graphique en utilisant ses racines

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Les racines d'un polynôme et la courbe représentative d'une fonction polynôme.

Le sujet traité

On s'intéresse ici aux racines d'une fonction polynôme.
On va définir ce qu'on appelle une racine multiple d'ordre n. Puis on verra comment on peut déduire du type des racines d'une fonction polynôme des informations sur la courbe représentative de cette fonction.

Des équivalences concernant les fonctions polynômes

Si f est une fonction polynôme et k un réel, les propositions suivantes sont équivalentes :
  • start color #01a995, k, end color #01a995 est une racine réelle du polynôme ou une solution de l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 est une valeur qui annule la fonction f
  • Le point de coordonnées left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, comma, 0, right parenthesis est un point commun à la courbe représentative de f et à l'axe des abscisses
  • On peut mettre left parenthesis, x, minus, k, right parenthesis en facteur : f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis
Par exemple, soit la fonction polynôme f telle que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis.
f, left parenthesis, x, right parenthesis est le produit de left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis et de left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis.
Les solutions de l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 sont x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 et x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Ce sont les racines du polynôme* f.
start color #01a995, 3, end color #01a995 et start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 sont les valeurs qui annulent la fonction f.
Les points communs à la courbe représentative de f et à l'axe des abscisses sont les points de coordonnées left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, space, ;, 0, right parenthesis et left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, space, ;, 0, right parenthesis.

À vous !

1) Quelles sont les valeurs qui annulent la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis, question mark
Choisissez une seule réponse :

2) Si la courbe représentative de la fonction g coupe l'axe des x au point de coordonnées left parenthesis, 2, space, ;, 0, right parenthesis, alors on sait qu'une solution de l'équation g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 est :
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) La fonction h s'annule en minus, 1 et en 3, donc une expression de h, left parenthesis, x, right parenthesis est :
Choisissez une seule réponse :

Racines multiples

Si, par exemple, le facteur left parenthesis, x, minus, a, right parenthesis apparaît plusieurs fois dans la factorisation d'un polynôme alors a est appelée une racine multiple.
Par exemple, si f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript, alors 4 est une racine multiple du polynôme f. On dit que c'est une racine multiple d'ordre start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Si on écrit tous les facteurs de f, left parenthesis, x, right parenthesis, alors left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis est écrit start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff fois :
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
Si on résout l'équation f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, on obtient deux fois la solution x, equals, 4.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
De façon générale, si le facteur x, minus, k apparaît m fois dans la factorisation d'un polynôme, on dit que k est une racine multiple d'ordre m. Une racine multiple d'ordre 2 est appelée une racine double.

À vous !

4) La racine multiple d'ordre 3 du polynôme f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed est :
Choisissez une seule réponse :

5) La racine double du polynôme g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared est :
Choisissez une seule réponse :

Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction ?

Le fait qu'une racine soit une racine simple ou une racine multiple est important car on peut en déduire une information sur le comportement de la courbe représentative de la fonction.
Voici, par exemple, la courbe représentative de la fonction polynôme f telle que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared. Elle n'a pas le même comportement au point d’abscisse 1 et au point d’abscisse 4.
Au point d'abscisse 1 qui est une racine simple du polynôme, elle coupe l'axe de x alors qu'au point d'abscisse 4 qui est une racine double, elle est tangente à l'axe des x.
Voici la courbe de la fonction polynôme g telle que g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Cette fois-ci, 1 est une racine double du polynôme et 4 est une racine simple.
Au point d'abscisse 1, la courbe représentative de la fonction g est tangente à l'axe des x, alors qu'au point d'abscisse 4, elle le coupe.
De façon générale, si une racine de f est d'ordre impair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f coupe l'axe des x. Si une racine de f est d'ordre pair, elle est l’abscisse d'un point où la courbe représentative de f est tangente à l'axe des x.

À vous !

6) 6 est-elle une racine multiple d'ordre pair ou d'ordre impair de la fonction polynôme dont la courbe représentative est ci-contre ?
Choisissez une seule réponse :

7) Laquelle de ces courbes est celle de la fonction h définie par h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, question mark
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice

7) Laquelle de ces courbes est celle de la fonction f définie par f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x, question mark
Choisissez une seule réponse :

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