Quelle est la bonne méthode si les fractions rationnelles à additionner ou à soustraire n'ont pas le même dénominateur ?

Rappel

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.
Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.
Si les deux fractions n'ont pas le même dénominateur, pour pouvoir les additionner ou les soustraire il faut trouver un dénominateur commun.
Reportez-vous éventuellement aux leçons :

Le sujet traité

Il est traité de l'addition et la soustraction de deux fractions rationnelles qui n'ont pas le même dénominateur et de l'importance d'utiliser le plus petit dénominateur commun des deux fractions.

Un exemple simple pour commencer : start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Il faut d'abord réduire les deux fractions au même dénominateur.
Ici, on peut multiplier la première fraction par left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesiset la deuxième par left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.
La différence start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction est définie si x, does not equal, 2 et .
Multiplier la première fraction par start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, c'est la multiplier par 1. De même multiplier la deuxième fraction par start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction c'est la multiplier par 1. Et bien sûr cela revient à multiplier les deux termes de la première fraction par x, plus, 1 et les deux termes de la deuxième par x, minus, 2.
Voici le calcul :
=3x22x+1=3x2(x+1x+1)2x+1(x2x2)=3(x+1)(x2)(x+1)2(x2)(x+1)(x2)=3(x+1)2(x2)(x2)(x+1)=3x+32x+4(x2)(x+1)=x+7(x2)(x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueD{x-2}}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}}\\\\\\ &=\dfrac{3}{\blueD{x-2}}{\left(\greenD{\dfrac{x+1}{x+1}}\right)}-\dfrac{2}{\greenD{x+1}}{\left(\blueD{\dfrac{x-2}{x-2}}\right)}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}

À vous !

1) start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

=5xx+3+4x+2=5xx+3(x+2x+2)+4x+2(x+3x+3)=5x(x+2)(x+3)(x+2)+4(x+3)(x+3)(x+2)=5x(x+2)+4(x+3)(x+3)(x+2)=5x2+10x+4x+12(x+3)(x+2)=5x2+14x+12(x+3)(x+2)\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{5x}{\blueD{x+3}}+\dfrac{4}{\greenD{x+2}}\\\\\\ &=\dfrac{5x}{\blueD{x+3}}\left(\greenD{\dfrac{x+2}{x+2}}\right)+\dfrac{4}{\greenD{x+2}}\left(\blueD{\dfrac{x+3}{x+3}}\right)&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x(x+2)}{(x+3)(x+2)}+\dfrac{4(x+3)}{(x+3)(x+2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x(x+2)+4(x+3)}{(x+3)(x+2)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x^2+10x+4x+12}{(x+3)(x+2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{5x^2+14x+12}{(x+3)(x+2)} \end{aligned}

Touver le plus petit dénominateur commun

Les fractions numériques

Parfois les dénominateurs ont des diviseurs communs.
Par exemple, voici le calcul de start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction :
Le dénominateur commun utilisé n'est pas le produit de 4 par 6, c'est leur plus petit multiple commun qui est 12.
Le plus petit multiple commun left parenthesis, P, P, C, M, right parenthesis de deux entiers est le plus petit nombre divisible par ces deux entiers.
Si deux entiers n'ont pas de diviseur commun, leur P, P, C, M est égal à leur produit. Mais ce n'est pas le cas s'ils ont un diviseur commun. Par exemple :
  • 2 est un diviseur commun de 4 et 6 donc le P, P, C, M de 4 et 6 est 12, et non 4, times, 6, equals, 24
  • 3 est un diviseur commun de 6 et 15 donc le P, P, C, M de 6 et 15 est 30, et non 6, times, 15, equals, 90
Le plus petit multiple commun des dénominateurs de deux ou plusieurs fractions est leur plus petit dénominateur commun .
Une bonne méthode est de systématiquement décomposer les dénominateurs en facteurs premiers.
start color blueD, 2, end color blueD, times, start color greenD, 2, end color greenD, times, start color goldD, 3, end color goldD, equals, 12

Les fractions rationnelles

On applique le même raisonnement à cette addition :
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
On cherche le plus petit dénominateur commun :
Le plus petit dénominateur commun est start color blueD, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color purpleC.
Voici maintenant le calcul :

A vous !

2) start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

On cherche le plus petit dénominateur commun :
Le plus petit dénominateur commun est start color blueD, x, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color purpleC.
Voici maintenant le calcul :
3) start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

On cherche le plus petit dénominateur commun :
Le plus petit dénominateur commun est start color blueD, 2, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color purpleC.
Voici maintenant le calcul :

Un dernier exercice

4*) start fraction, 2, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

On commence par factoriser les dénominateurs.
start fraction, 2, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, 2, end superscript, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction
On peut maintenant chercher leur plus petit dénominateur commun.
Leur plus petit dénominateur commun est start color blueD, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end color blueD, start color greenD, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color greenD, start color purpleC, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color purpleC.
Voici maintenant le calcul :

Pourquoi utiliser le plus petit dénominateur commun ?

Pourquoi se donner cette peine de chercher le plus petit dénominateur commun ?
Après tout, avec les fractions numériques ce n'est pas obligatoire et on peut très bien parvenir au bon résultat en faisant le produit des dénominateurs.
Voici l'une à côté de l'autre les deux façons de calculer la somme start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction. La première en utilisant leur plus petit dénominateur commun qui est 12 et la deuxième en utilisant comme dénominateur commun le produit des deux dénominateurs qui est 24.
Plus petit dénominateur commun : 12space, space, space, space, spaceDénominateur commun : 24
Dans le deuxième cas, il y a plus de travail !
C'est la même chose dans le cas des fractions rationnelles.
Mais du fait que les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes et non des nombres, les choses peuvent beaucoup se compliquer. D'abord, on doit faire les calculs avec des polynômes de plus haut degré et ensuite pour simplifier le résultat on doit factoriser les polynômes.
On reprend
start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Voici les calculs si on choisit de multiplier les deux termes de la première fraction par le dénominateur de la deuxième et les deux termes de la deuxième fraction par le dénominateur de la première :
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)((x+1)(x+3)(x+1)(x+3))+3(x+1)(x+3)((x2)(x+1)(x2)(x+1))\scriptsize\begin{aligned}&\phantom{=}\dfrac{2}{\blueD{(x-2){(x+1)}}}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)(x+3)}}\\ \\\\ &=\dfrac{2}{\blueD{(x-2){(x+1)}}}{\left(\greenD{\dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+1)(x+3)}}\right)}+\dfrac{3}{\greenD{(x+1)(x+3)}}{\left(\blueD{\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)}}\right)} \end{aligned}
=2(x+1)(x+3)(x2)(x+1)2(x+3)+3(x2)(x+1)(x+1)2(x+3)(x2)=2(x+1)(x+3)+3(x2)(x+1)(x2)(x+1)2(x+3)=2(x2+4x+3)+3(x2x2)(x2)(x+1)2(x+3)=2x2+8x+6+3x23x6(x2)(x+1)2(x+3)=5x2+5x(x2)(x+1)2(x+3)=5x(x+1)(x2)(x+1)2(x+3)on met 5x en facteur=5x(x2)(x+1)(x+3)On simplifie par x+1\scriptsize\begin{aligned}&=\dfrac{2(x+1)(x+3)}{(x-2)(x+1)^2(x+3)}+\dfrac{3(x-2)(x+1)}{(x+1)^2(x+3)(x-2)}\\ \\\\\\ &=\dfrac{2(x+1)(x+3)+3(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+1)^2(x+3)}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\\\ &=\dfrac{2(x^2+4x+3)+3(x^2-x-2)}{(x-2)(x+1)^2(x+3)}\\ \\\\ &=\dfrac{2x^2+8x+6+3x^2-3x-6}{(x-2)(x+1)^2(x+3)}\\ \\\\ &=\dfrac{5x^2+5x}{(x-2)(x+1)^2(x+3)}\\ \\\\ &=\dfrac{5x(x+1)}{(x-2)(x+1)^2(x+3)}&&\small{\gray{\text{on met }5x}\text{ en facteur}}\\\\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)}&&\small{\gray{\text{On simplifie par }x+1}} \end{aligned}
On obtient le même résultat, mais avec beaucoup plus de travail !
On s'évite du travail supplémentaire et inutile si on utilise le plus petit dénominateur commun des fractions.