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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 6

Leçon 3: Additionner ou soustraire des fractions rationnelles

Additionner ou soustraire des fractions rationnelles

Quelle est la bonne méthode si les fractions rationnelles à additionner ou à soustraire n'ont pas le même dénominateur ?

Rappel

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes.

Pour additionner ou soustraire deux fractions rationnelles de même dénominateur, on additionne ou on soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun.

Si les deux fractions n'ont pas le même dénominateur, pour pouvoir les additionner ou les soustraire il faut trouver un dénominateur commun.

Reportez-vous éventuellement aux leçons :

Le sujet traité

Il est traité de l'addition et la soustraction de deux fractions rationnelles qui n'ont pas le même dénominateur et de l'importance d'utiliser le plus petit dénominateur commun des deux fractions.

Un exemple simple pour commencer : start fraction, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction, minus, start fraction, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction

Il faut d'abord réduire les deux fractions au même dénominateur.

Ici, on peut multiplier la première fraction par left parenthesis, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, plus, 1, end fraction, right parenthesiset la deuxième par left parenthesis, start fraction, x, minus, 2, divided by, x, minus, 2, end fraction, right parenthesis.

[Justification]

Voici le calcul :

\begin{aligned} &\phantom{=}{\dfrac{3}{\blueE{x-2}}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE{x-2}}{×\greenE{\dfrac{x+1}{x+1}}}-\dfrac{2}{\greenE{x+1}}{×\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)}{(x-2)(x+1)}-\dfrac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{3(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{3x+3-2x+4}{(x-2)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)} \end{aligned}%\left\right\left\right

À vous !

Exercice 1

Additionner les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

start fraction, 5, x, divided by, x, plus, 3, end fraction, plus, start fraction, 4, divided by, x, plus, 2, end fraction, equals

Touver le plus petit dénominateur commun

Les fractions numériques

Parfois les dénominateurs ont des diviseurs communs.

Par exemple, voici le calcul de start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction :

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\times\greenE2}+\dfrac{1}{\blueE2\times\goldE3} \\\\ &=\dfrac{3}{\blueE2\times\greenE2} {×\dfrac{\goldE3}{\goldE3}}+\dfrac{1}{\blueE2\times\goldE3}{×\dfrac{\greenE2}{\greenE2}} \\\\ &=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12} \\\\ &=\dfrac{11}{12} \end{aligned}%\left\right\left\right

Le dénominateur commun utilisé n'est pas le produit de 4 par 6, c'est leur plus petit multiple commun qui est 12.

[Qu'est-ce que le plus petit multiple commun ?]

Le plus petit multiple commun des dénominateurs de deux ou plusieurs fractions est leur plus petit dénominateur commun .

[Comment a-t-on trouvé que le plus petit dénominateur commun des deux fractions était 12~?]

Les fractions rationnelles

On applique le même raisonnement à cette addition :

start fraction, 2, divided by, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction

On cherche le plus petit dénominateur commun :

\underbrace{\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Il manque} \\ &\scriptsize\text{le facteur } \\ &\scriptsize \purpleD{(x+3)} \end{aligned}}+\underbrace{\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}}_{\begin{aligned} &\scriptsize\text{Il manque} \\ &\scriptsize\text{le facteur} \\ &\scriptsize \blueE{(x-2)} \end{aligned}}

Le plus petit dénominateur commun est start color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #0d923f, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab.

Voici maintenant le calcul :

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}} \\\\ &=\dfrac{2}{\blueE{(x-2)}\greenE{(x+1)}}{×\purpleD{\dfrac{x+3}{x+3}}}+\dfrac{3}{\greenE{(x+1)}\purpleD{(x+3)}}{×\blueE{\dfrac{x-2}{x-2}}} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)}{(x-2)(x+1)(x+3)}+\dfrac{3(x-2)}{(x+1)(x+3)(x-2)} \\\\ &=\dfrac{2(x+3)+3(x-2)}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{2x+6+3x-6}{(x-2)(x+1)(x+3)} \\\\ &=\dfrac{5x}{(x-2)(x+1)(x+3)} \end{aligned}%\left\right\left\right

À vous !

Exercice 2

Additionner les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

start fraction, 1, divided by, x, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, plus, start fraction, 3, divided by, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 6, right parenthesis, end fraction, equals

Exercice 3

Soustraire les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

start fraction, 3, x, divided by, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, end fraction, minus, start fraction, 4, divided by, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end fraction, equals

Un dernier exercice

Additionner les deux fractions.
Le numérateur de la fraction somme doit être développé et réduit. Pour son dénominateur, ce n'est pas obligatoire.

start fraction, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, end fraction, equals

Pourquoi utiliser le plus petit dénominateur commun ?

Pourquoi se donner cette peine de chercher le plus petit dénominateur commun ?

Après tout, avec les fractions numériques ce n'est pas obligatoire et on peut très bien parvenir au bon résultat en faisant le produit des dénominateurs.

Voici l'une à côté de l'autre les deux façons de calculer la somme start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, 6, end fraction. La première en utilisant leur plus petit dénominateur commun qui est 12 et la deuxième en utilisant comme dénominateur commun le produit des deux dénominateurs qui est 24.

Plus petit dénominateur commun 12	Dénominateur commun 24
$\begin{aligned}~\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}&=\dfrac{3}{\blueE4} {×\dfrac{\goldE3}{\goldE3}}+\dfrac{1}{\greenE6}{×\dfrac{\purpleD2}{\purpleD2}}\\\\&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\\\\&=\dfrac{11}{12}\\\\&\phantom{\dfrac{1}{2}}\end{aligned}$	$\begin{aligned}\dfrac{3}{\blueE4}+\dfrac{1}{\greenE6}&=\dfrac{3}{\blueE4}×\greenE{\dfrac{6}{6}}+\dfrac{1}{\greenE6}×\blueE{\dfrac{4}{4}}\\\\&=\dfrac{18}{24}+\dfrac{4}{24}\\\\&=\dfrac{22}{24}\\\\&=\dfrac{11}{12}\end{aligned}%\left\right\left\right\left\right\left\right$

Dans le deuxième cas, il y a plus de travail !

C'est la même chose dans le cas des fractions rationnelles.

Mais du fait que les numérateurs et les dénominateurs sont des polynômes et non des nombres, les choses peuvent beaucoup se compliquer. D'abord, on doit faire les calculs avec des polynômes de plus haut degré et ensuite pour simplifier le résultat on doit factoriser les polynômes.

[Un exemple]

On s'évite du travail supplémentaire et inutile si on utilise le plus petit dénominateur commun des fractions.