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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 6 

Leçon 2: Multiplier ou diviser des fractions rationnelles
Mathématiques
Algèbre III
Les fractions rationnelles et les fonctions rationnelles
Multiplier ou diviser des fractions rationnelles
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Diviser deux fractions rationnelles

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La méthode à utiliser pour calculer le quotient de deux fractions rationnelles.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à 0.
La méthode pour multiplier deux fractions rationnelles est analogue à celle que l'on utilise pour multiplier deux fractions numériques. On factorise les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions, on simplifie par les facteurs communs, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Reportez-vous éventuellement aux leçons :
  • Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
  • Simplifier une fraction rationnelle
  • Multiplier deux fractions rationnelles

Le sujet traité

Cette leçon porte sur le quotient de deux fractions rationnelles.

Diviser une fraction rationnelle par une fraction rationnelle

Pour diviser une fraction numérique par une autre fraction numérique, on multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. Par exemple :
=29÷83=29×⁡38on multiplie par l’inverse=23×3×32×4=23×3×32×4=112\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\div{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\operatorname {×} {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{on multiplie par l'inverse}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\times 3}\times \dfrac{\greenD3}{\blueD2\times 4}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\times 3}\times \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\times 4}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
On utilise la même méthode pour diviser une fraction rationnelle par une autre fraction rationnelle.

Exemple 1 : start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44÷9x10=3x44×109xon multiplie par l’inverse=3×x×x32×2×2×53×3×x=3×x×x32×2×2×53×3×x=5x36\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\div\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\times \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{on multiplie par l'inverse}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\times \greenD{x}\times x^3}{\goldD2\times 2}\times \dfrac{\goldD 2\times 5}{\blueD3\times 3\times \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\times \greenD{\cancel{x}}\times x^3}{\goldD{\cancel{2}}\times 2}\times \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\times 5}{\blueD{\cancel{3}}\times 3\times \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
Il ne faut pas oublier d'exclure les valeurs interdites. Le quotient de deux fractions rationnelles n'est pas défini pour :
  • les valeurs de la variable pour lesquelles l'une ou l'autre des fractions dont on calcule le quotient n'est pas définie,
  • les valeurs de la variable pour lesquelles la fraction par laquelle on divise est nulle.
Autrement dit, le quotient start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction n'est pas défini si B, equals, 0, C, equals, 0 ou D, equals, 0.
On examine les deux fractions.
  • start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction est définie pour tout x réel.
  • start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction est définie pour tout x réel et elle est égale à 0 si x, equals, 0.
Donc le quotient des deux fractions est défini si x, does not equal, 0.
Le quotient des deux fractions est start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction si x, does not equal, 0

À vous !

1) Effectuer :
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
si x, does not equal
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemple 2 : start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

On multiplie la première fraction par l'inverse de la seconde. On factorise les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions. On simplifie par les facteurs communs, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Enfin on exclut les valeurs interdites
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10×x−5x+3=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)×x−5x+3=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)×(x−5)x+3=x−5x+5\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\times\dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\times \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\times\dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
On examine les deux fractions pour déterminer les valeurs interdites.
  • start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction est définie si x, does not equal, minus, 5 et x, does not equal, 2.
  • start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction est définie si x, does not equal, 5 et elle est égale à 0 si x, equals, minus, 3.
Donc le quotient des deux fractions est défini si x, does not equal, minus, 5, x, does not equal, minus, 3, x, does not equal, 2 et x, does not equal, 5.
On doit écrire les conditions x, does not equal, 5, x, does not equal, 2, x, does not equal, minus, 3, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x, does not equal, minus, 5 car elle est "visible" puisque le dénominateur du quotient trouvé est x, plus, 5.
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction si x, does not equal, 5, x, does not equal, 2 et x, does not equal, minus, 3

À vous !

2) Effectuer :
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

3) Effectuer :
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?
Choisissez toutes les réponses possibles :

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