Multiplier deux fractions rationnelles (leçon)

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à

0

Pour simplifier une fraction rationnelle, on factorise son numérateur et son dénominateur et on simplifie par les facteurs communs.

Reportez-vous éventuellement aux leçons :

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?
Simplifier une fraction rationnelle

Le sujet traité

Cette leçon porte sur le produit de deux fractions rationnelles.

Multiplier deux fractions rationnelles

D'abord, un rappel sur la façon dont on multiplie deux fractions numériques.

Par exemple :

\begin{aligned} \frac{3}{4} \times \frac{10}{9} \\ = \frac{3}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 5}{3 \times 3} \\ = \frac{3}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 5}{3 \times 3} \\ = \frac{5}{6} \end{aligned}

On a décomposé les numérateurs et les dénominateurs des deux fractions en un produit de facteurs premiers et on a simplifié par les facteurs communs avant de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

C'est du fait de la façon dont est défini le produit de deux fractions.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.

Par exemple,

$\begin{aligned} \frac{3}{4} \times \frac{10}{9} & = \frac{3}{2 \times 2} \times \frac{2 \times 5}{3 \times 3} \\ = \frac{3 \times 2 \times 5}{2 \times 2 \times 3 \times 3} \end{aligned}$ ‍

On voit que l'on peut simplifier par

2

et par

3

! Ces facteurs sont au numérateur et au dénominateur de la même fraction du fait de la façon de procéder pour multiplier deux fractions.

Exemple 1 : $\frac{3 x^{2}}{2} \times \frac{2}{9 x}$ ‍

On peut procéder de la même façon que pour les fractions numériques.

\begin{aligned} \frac{3 x^{2}}{2} \times \frac{2}{9 x} \\ = \frac{3 \times x \times x}{2} \times \frac{2}{3 \times 3 \times x} \\ (si x \neq 0) \\ = \frac{3 \times x \times x}{2} \times \frac{2}{3 \times 3 \times x} \\ = \frac{x}{3} \end{aligned}

Attention le produit donné n'est défini que si

x \neq 0

. Si

x = 0

, le produit n'existe pas. Donc il ne faut pas oublier de préciser la condition

x \neq 0

Le produit des deux fractions est :

\frac{x}{3}

x \neq 0

À vous !

1) Effectuer :

\frac{4 x^{6}}{5} \times \frac{1}{12 x^{3}} =

x \neq

Exemple 2 : $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \times \frac{5}{x - 3}$ ‍

On factorise le numérateur et le dénominateur de chacune des fractions, on simplifie par les facteurs communs, puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\begin{aligned} \frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \times \frac{5}{x - 3} \\ = \frac{(x - 3) (x + 2)}{5 \times (x + 1)} \times \frac{5}{x - 3} \\ (si x \neq - 1 et x \neq 3) \\ = \frac{(x - 3) (x + 2)}{5 \times (x + 1)} \times \frac{5}{x - 3} \\ = \frac{x + 2}{x + 1} \end{aligned}

Ce produit n'est défini que si

x \neq - 1

x \neq 3

De façon générale, le produit de deux fractions rationnelles n'est pas défini pour les valeurs de la variable pour lesquelles l'une ou l'autre des fractions du produit n'est pas définie.

À vous !

2) Effectuer :

\frac{5 x^{3}}{5 x + 10} \times \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} =

A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?

3) Effectuer :

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x - 8} \times \frac{x - 4}{x - 3} =

A quelle(s) condition(s) cette fraction existe-t-elle ?

Et ensuite ?

La leçon suivante est : Diviser deux fractions rationnelles.

Cours : Algèbre III > Chapitre 6

Multiplier deux fractions rationnelles

Prérequis :

Le sujet traité

Multiplier deux fractions rationnelles

Exemple 1 : $\frac{3 x^{2}}{2} \times \frac{2}{9 x}$ ‍

À vous !

Exemple 2 : $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \times \frac{5}{x - 3}$ ‍

À vous !

Et ensuite ?

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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 6

Prérequis :

Le sujet traité

Multiplier deux fractions rationnelles

Exemple 1 : 3x22×29x‍

À vous !

Exemple 2 : x2−x−65x+5×5x−3‍

À vous !

Et ensuite ?

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Exemple 1 : $\frac{3 x^{2}}{2} \times \frac{2}{9 x}$ ‍

Exemple 2 : $\frac{x^{2} - x - 6}{5 x + 5} \times \frac{5}{x - 3}$ ‍