Bonjour ! Je ne comprend pas comment, et quand, déterminer les conditions d'existence...On peut m'aider ? Merci !

Bonjour, Je pense que tu es perdue car il y a deux problèmes différents, avec ces conditions d'existence : - D'une part, quand on étudie une fonction rationnelle (=donnée sous forme de fraction), celle-ci n'existe pas si son dénominateur est nul. On va *toujours* spécifier ses conditions d'existence, en rejetant les valeurs de x qui rendent son dénominateur nul. - D'autre part, et c'est l'objet de cet article, tu peux "simplement" avoir envie de simplifier une fraction rationnelle, c'est à dire l'écrire sous une forme plus simple, mais avec ta fraction d'origine qui a *toujours* la même valeur que ta fraction simplifiée. Et ce "toujours" veut dire : pour toutes les valeurs de x. Or, quand tu simplifies une fraction, tu fais disparaître du dénominateur un des facteurs. Et ce facteur peut être nul pour une certaine valeur de x (x=0 dans l'exemple 1, x=-3 dans l'exemple 2). Comme il a disparu, dans la fraction simplifiée, tu dois spécifier que les deux fractions ne sont égales que si x est différent de ces valeurs-là : celles qui rendaient le dénominateur de la fraction d'origine nul, mais qui ne créent pas de problèmes avec la fraction simplifiée. Si ce n'est toujours pas clair, relis bien le paragraphe accessible en cliquant sur "_Explication_" dans l'exemple 1, ou regarde cette vidéo : https://fr.khanacademy.org/math/3eme-annee-secondaire/xd903d14ae2b1276e:algebre-factorisation-de-polynomes-et-fractions-rationnelles/xd903d14ae2b1276e:fractions-rationnelles-definitions-et-simplification/v/simplifying-rational-expressions-introduction

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Cours : 3e année secondaire > Chapitre 3

Leçon 5: Fractions rationnelles : Définitions et simplification

Simplifier une fraction rationnelle

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Apprenez comment simplifier au maximum une fraction rationnelle.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à

0

Par exemple, l'ensemble de définition de la fraction rationnelle

\frac{x + 2}{x + 1}

est l'ensemble des réels privé de $-1$ ‍. Autrement dit cette fraction est définie pour tout

x \neq - 1

Vous devez également savoir Factoriser un polynôme pour cette leçon.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la simplification d'une fraction rationnelle.

Introduction

Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.

On procède de la même façon que pour les fractions numériques.

Par exemple, quand on simplifie

\frac{6}{8}

, on divise son numérateur et son dénominateur par

2

et on obtient

\frac{3}{4}

\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \times 3}{2 \times 4} = \frac{2 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{4} \end{aligned}

Exemple 1 - Simplifier la fraction rationnelle $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

1 - On factorise les deux termes de la fraction

Pour savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, il faut les factoriser !

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

2 - On écrit les conditions

La factorisation du dénominateur permet de déterminer les valeurs de

x

pour lesquelles la fraction n'est pas définie.

Les conditions sont

x \neq 0

x \neq - 5

\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

3 - On simplifie

On peut simplifier par

x

\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}

4 - La fraction simplifiée

La fraction rationnelle donnée existe si

x \neq 0

x \neq - 5

. La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.

On doit écrire la condition

x \neq 0

, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition

x \neq - 5

car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est

x + 5

Fraction rationnelle :

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

On simplifie :

\frac{x + 3}{x + 5}

x = - 5

, le dénominateur de la fraction rationnelle donnée et celui de la fraction simplifiée sont égaux à

0

. Donc ni l'une ni l'autre des deux fractions n'est définie.

En revanche, si

x = 0

, alors

\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}

, donc la fraction simplifiée est définie alors que la fraction rationnelle donnée ne l'est pas, donc les fractions ne sont pas égales si

x = 0

. C'est pourquoi il faut ajouter la condition

x \neq 0

La fraction rationnelle donnée n'est pas définie si

x = 0

, donc on doit écrire la condition

x \neq 0

La fraction simplifiée est :

\frac{x + 3}{x + 5}

x \neq 0

Une remarque sur l'égalité de deux fractions rationnelles

Fraction rationnelle	Forme simplifiée
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ si $x \neq 0$ ‍

Ces deux fractions rationnelles sont égales. Elles prennent la même valeur pour toute valeur de

x

pour laquelle elles sont définies. Nous allons voir deux exemples du calcul de leurs valeurs pour une valeur donnée de

x

	Fraction rationnelle		Forme simplifiée
Valeur si $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{2^{2} + 3 \times 2}{2^{2} + 5 \times 2} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \times 5}{2 \times 7} \\ = \frac{2 \times 5}{2 \times 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Notes	On a divisé le numérateur et le dénominateur par $2$ ‍		On obtient directement la valeur de la fraction si $x = 2$ ‍.

Les deux fractions doivent avoir la même valeur pour tout

x

. Mais que se passe-t-il si

x

est égal à l'une des valeurs pour lesquelles la fraction rationnelle donnée n'est pas définie. Par exemple, ici, si

x = 0

	Fraction rationnelle		Forme simplifiée
Valeur si $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{0^{2} + 3 \times 0}{0^{2} + 5 \times 0} & = \frac{0}{0} \\ la fraction n’est pas définie \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

La fraction rationnelle donnée n'est définie que si

x \neq 0

, donc on doit écrire la condition

x \neq 0

Attention !

Dans la fraction ci-dessous, il ne faut pas céder à la tentation de simplifier par

x

, car le numérateur et le dénominateur sont des sommes et non des produits

\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}

Pour vous en persuader, on prend un exemple numérique. Si

x = 2

\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq \frac{3}{5}

On ne peut simplifier une fraction rationnelle que si son numérateur et son dénominateur sont des produits.

La méthode à mémoriser :

1 - On factorise le numérateur et le dénominateur.
2 - On écrit à quelles conditions la fraction rationnelle existe.
3- On simplifie par les facteurs communs.
4- On écrit les conditions devenues "invisibles" du fait de cette simplification.

À vous !

Exercice 1

Cocher la fraction égale à la fraction rationnelle $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

Exercice 2

Simplifier la fraction rationnelle $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

x \neq

Exemple 2 - Simplifier la fraction rationnelle $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

1 - On factorise les deux termes de la fraction

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

2 - On écrit les conditions

Les conditions sont

x \neq - 2

x \neq - 3

\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

3 - On simplifie

On peut simplifier par

x + 3

\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}

4 - La fraction simplifiée

La fraction simplifiée est :

\frac{x - 3}{x + 2}

x \neq - 3

La fraction donnée est définie si

x \neq - 2

x \neq - 3

. Pour la fraction simplifiée, on doit écrire la condition

x \neq - 3

mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition

x \neq - 2

car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est

x + 2

A vous !

Exercice 3

Cocher la fraction égale à la fraction rationnelle $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

Exercice 4

Simplifier la fraction rationnelle $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

x \neq

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Trier par :

Elise
Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de Elise «Bonjour ! Je ne comprend ... »
Bonjour !
Je ne comprend pas comment, et quand, déterminer les conditions d'existence...On peut m'aider ?
Merci !
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(1 vote)
Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a 10 mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Bonjour, Je pense que tu ... »
  Bonjour,
  Je pense que tu es perdue car il y a deux problèmes différents, avec ces conditions d'existence :
  - D'une part, quand on étudie une fonction rationnelle (=donnée sous forme de fraction), celle-ci n'existe pas si son dénominateur est nul. On va toujours spécifier ses conditions d'existence, en rejetant les valeurs de x qui rendent son dénominateur nul.
  - D'autre part, et c'est l'objet de cet article, tu peux "simplement" avoir envie de simplifier une fraction rationnelle, c'est à dire l'écrire sous une forme plus simple, mais avec ta fraction d'origine qui a toujours la même valeur que ta fraction simplifiée. Et ce "toujours" veut dire : pour toutes les valeurs de x.
  Or, quand tu simplifies une fraction, tu fais disparaître du dénominateur un des facteurs. Et ce facteur peut être nul pour une certaine valeur de x (x=0 dans l'exemple 1, x=-3 dans l'exemple 2).
  Comme il a disparu, dans la fraction simplifiée, tu dois spécifier que les deux fractions ne sont égales que si x est différent de ces valeurs-là : celles qui rendaient le dénominateur de la fraction d'origine nul, mais qui ne créent pas de problèmes avec la fraction simplifiée.
  
  Si ce n'est toujours pas clair, relis bien le paragraphe accessible en cliquant sur "Explication" dans l'exemple 1, ou regarde cette vidéo : https://fr.khanacademy.org/math/3eme-annee-secondaire/xd903d14ae2b1276e:algebre-factorisation-de-polynomes-et-fractions-rationnelles/xd903d14ae2b1276e:fractions-rationnelles-definitions-et-simplification/v/simplifying-rational-expressions-introduction
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  (3 votes)
Priscarla MONDZO
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Priscarla MONDZO «Bonsoir, comment peut-on ... »
Bonsoir, comment peut-on simplifie f (x)= 8x(au carré)-10x +3
Sur 6x (au carré)-x -1
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Réponse
- Smaug-le-Terrible
  Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de Smaug-le-Terrible «Du quel voulait tu parler ... »
  Du quel voulait tu parler? je suppose que c'est la dernière proposition, mais ce n'est pas très clair :
  - f(x) = 8x² - 10x + 3/(6x² - x - 1)
  - f(x) = 8x² - 10x + 3/(6x² - x) -1
  - f(x) = 8x² - 10x + 3/6x² - x - 1
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Nabid Syed
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Nabid Syed «pour l'ex 3 c'est pas plu ... »
pour l'ex 3 c'est pas plutot x ne doit pas etre egale a -1?
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Vous avez mal lu le corri ... »
  Vous avez mal lu le corrigé de l'exercice 3.
  Il s'agit de trouver quelle est la fraction rationnelle plus simple égale à F(x)=(x²-3x+2)/(x²-1)
  F(x) n'est pas définie si x = 1 et si x = -1
  Quand on simplifie F(x), on obtient (x-2)/(x+1)
  Si x = 1, (x-2)/(x+1) N'EST PAS EGALE à F(x), puisque F(x) n'est pas définie pour x=1.
  C'est pour cela qu'il faut préciser que (x-2)(x+1) = F(x) à condition que x ≠ 1.
  Mais, bien sûr, Il est clair que ni l'une ni l'autre de ces deux fractions n'est définie si x = -1.
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