La définition. Les valeurs de la variable pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Le sujet traité

C'est une première leçon sur les fractions rationnelles. On va voir comment trouver les valeurs de xx pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie.

Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?

Un monôme est une expression de la forme axnax^naa est un réel et nn un entier et un polynôme est une somme de monômes.
Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Autrement dit, c'est une fraction dont le numérateur et la dénominateur sont des polynômes.
Voici trois exemples de fractions rationnelles :
1x\dfrac{1}{x}, x+5x24x+4\quad\dfrac{x+5}{x^2-4x+4}, x(x+1)(2x3)x6\quad\dfrac{x(x+1)(2x-3)}{x-6}
Le numérateur peut être une constante et les polynômes peuvent être écrits sous diverses formes.

Les valeurs pour lesquelles une fraction rationnelle n'est pas définie

Soit la fraction rationnelle 2x+3x2\dfrac{2x+3}{x-2}.
On peut calculer sa valeur pour différentes valeurs de xx. Par exemple, quelle est sa valeur si x=1 ?\blueD{x}=\blueD1~?
2×1+312=  51=5\begin{aligned}\dfrac{2×\blueD{1}+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
Si x=1\blueD{x}=\blueD{1} la fraction est égale à 5\goldD{-5}.
Et si x=2\blueD{x}=\blueD{2} ?
2×2+322=70=n’existe pas !\begin{aligned}\dfrac{2×\blueD{2}+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{n'existe pas !}} \\ \end{aligned}
Si x=2x=2 alors le dénominateur de la fraction est égal à 00. On ne peut pas diviser par 00 donc la fraction n'est pas définie si x=2\blueD x=\blueD 2.

L'ensemble de définition d'une fraction rationnelle

L'ensemble de définition d'une expression est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles l'expression est définie.
Dans le cas d'une fraction rationnelle, c'est l'ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles le dénominateur est différent de 00 car on ne peut pas diviser par 00.
Autrement dit, les seuls réels qui n'appartiennent pas à l'ensemble de définition d'une fraction rationnelle sont les réels qui annulent le dénominateur.

Exemple : L'ensemble de définition de x+1(x3)(x+4)\dfrac{x+1}{(x-3)(x+4)}

On calcule les valeurs qui annulent le dénominateur :
(x3)(x+4)=0x3=0oux+4=0x=3oux=4\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{ou} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{ou} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{}}}\end{aligned}
Donc son ensemble de définition est l'ensemble des réels privé de 3\textit 3 et de -4\textit{-4}, ou tout réel tel que x3 et x4x\neq3 \text{ et } x≠4

À vous !

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