Comment simplifier une fraction rationnelle.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à 00.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fraction rationnelle x+2x+1\dfrac{x+2}{x+1} est l'ensemble des réels privé de -1\textit{-1}. Autrement dit cette fraction est définie pour tout x1x\neq -1.
Avant de commencer, reportez-vous éventuellement à la leçon Qu'est-ce qu'une fraction rationnelle ?.
Et au chapitre Factoriser un polynôme.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la simplification d'une fraction rationnelle.

Introduction

Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.
La méthode pour simplifier une fraction rationnelle est analogue à la méthode utilisée pour simplifier une fraction numérique.
Par exemple, quand on simplifie 68\dfrac 68, on divise son numérateur et son dénominateur par 22 et on obtient 34\dfrac{3}{4}.
68=2×32×4=2×32×4=34\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\times 3}{2\times 4}&&\small{\gray{\text{}}} \\\\ &= \dfrac{\tealD{\cancel{2}}\times 3}{\tealD{\cancel{2}}\times 4}&&\small{\gray{\text{}}} \\ \\ &= \dfrac{3}{4} &&\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}

Exemple 1 - Simplifier x2+3xx2+5x\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Pour savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, il faut les factoriser !
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}=\dfrac{ x(x+3)}{ x(x+5)}
2 - On écrit les conditions
La factorisation du dénominateur permet de déterminer quelles sont les valeurs de xx pour lesquelles la fraction n'est pas définie.
Les conditions sont x0\blueD{x\neq0} et x5\purpleC{x\neq -5}.
x(x+3)x(x+5)\dfrac{ x(x+3)}{ \blueD x\purpleC{(x+5)}}
3 - On simplifie
On peut simplifier par xx.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned}\dfrac{\tealD x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealD {\cancel {x}}(x+3)}{\tealD{\cancel x}(x+5)}\\ \\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
4 - La fraction simplifiée
La fraction rationnelle donnée existe si x0x\neq 0 et x5x≠-5. La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.
On doit écrire la condition x0x\neq0, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x5x\neq -5 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x+5x+5.
La fraction simplifiée est :
x+3x+5\dfrac{x+3}{x+5} si x0x\neq 0

Une remarque sur l'égalité de deux fractions rationnelles

Fraction rationnelle\quadForme simplifiée
x2+3xx2+5x\dfrac{x^2+3x}{x^2+5x}\quadx+3x+5\dfrac{x+3}{x+5} si x0x\neq 0
Ces deux fractions rationnelles sont égales. Elles prennent la même valeur pour toute valeur de xx pour laquelle elles sont définies.
Fraction rationnelle\quadFraction simplifiée
Valeur si x=2\purpleC{x=2}(2)2+3×2(2)2+5×2=1014=2×52×7=2×52×7=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{2})^2+3×\purpleC{2}}{(\purpleC{2})^2+5×\purpleC{2}}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleC{{2}}\times 5}{\purpleC{{2}}\times 7}\\\\&=\dfrac{\purpleC{\cancel{2}}\times 5}{\purpleC{\cancel{2}}\times 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{2}+3}{\purpleC{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
RemarqueOn a simplifié par 2\purpleC 2.La fraction est déjà simplifiée car on a déjà simplifié par xx ((c'est-à-dire ici par x=2)\purpleC{x=2}).
Les deux fractions doivent avoir la même valeur pour tout xx. Mais que se passe-t-il si xx est égal à l'une des valeurs pour lesquelles la fraction rationnelle donnée n'est pas définie. Par exemple, ici, si x=0\purpleC{x=0}.
Fraction rationnelle\quadFraction simplifiée
Valeur si x=0\purpleC{x=0}(0)2+3×0(0)2+5×0=00=\begin{aligned}\dfrac{(\purpleC{0})^2+3×\purpleC{0}}{(\purpleC{0})^2+5×\purpleC{0}}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{}\end{aligned}0+30+5=35undefined\begin{aligned}\dfrac{\purpleC{0}+3}{\purpleC{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\\\\\&\phantom{\text{undefined}}\end{aligned}
La fraction rationnelle donnée n'est définie que si x0x\neq 0, donc on doit écrire la condition x0x≠0.

Attention !

Dans la fraction ci-dessous, il ne faut pas céder à la tentation de simplifier par xx, car le numérateur et le dénominateur sont des sommes et non des produits
x+3x+5  \dfrac{x+3}{x+5}~~\Large{\goldD{\neq}}  35~\dfrac{3}{5}
Pour vous en persuader, on prend un exemple numérique. Si x=2\purpleC{x=2} :
2+32+5  \dfrac{\purpleC2+3}{\purpleC2+5}~~\Large{\goldD{\neq}} 35~\dfrac{3}{5}
On ne peut simplifier une fraction rationnelle que si son numérateur et son dénominateur sont des produits.

La marche à suivre

  • 1 - On factorise le numérateur et le dénominateur.
  • 2 - On écrit à quelles conditions la fraction rationnelle existe.
  • 3- On simplifie par les facteurs communs.
  • 4- On écrit les conditions devenues "invisibles" du fait de cette simplification.

À vous !

Exemple 2 - Simplifier x29x2+5x+6\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}

1 - On factorise les deux termes de la fraction
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{({x+2})({x+3})}
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x2\blueD{x\neq-2} et x3\purpleC{x\neq -3}.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)\dfrac{(x-3)(x+3)}{\blueD{(x+2)}\purpleC{(x+3)}}
3 - On simplifie
On peut simplifier par x+3\tealD{x+3}.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2\begin{aligned}\dfrac{(x-3)\tealD{(x+3)}}{(x+2)\tealD{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealD{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealD{\cancel{(x+3)}}}\\ \\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
x3x+2\dfrac{x-3}{x+2} si x3x\neq -3
La fraction rationnelle donnée est définie si x2x\neq-2 et x3x\neq-3. On doit écrire la condition x3x≠-3 mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x2x≠-2 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x+2x+2.

A vous !

Et ensuite ?

La leçon suivante est : Simplifier une fraction rationnelle 2. Les simplifications à effectuer sont un peu plus difficiles.
Chargement