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Contenu principal

Simplifier une fraction rationnelle : Les bases

Comment simplifier une fraction rationnelle.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle n'est pas définie si son dénominateur est égal à 0.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fraction rationnelle x+2x+1 est l'ensemble des réels privé de -1. Autrement dit cette fraction est définie pour tout x1.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la simplification d'une fraction rationnelle.

Introduction

Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.
La méthode pour simplifier une fraction rationnelle est analogue à la méthode utilisée pour simplifier une fraction numérique.
Par exemple, quand on simplifie 68, on divise son numérateur et son dénominateur par 2 et on obtient 34.
68=2×32×4=2×32×4=34

Exemple 1 - Simplifier x2+3xx2+5x

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Pour savoir si le numérateur et le dénominateur ont des facteurs communs, il faut les factoriser !
x2+3xx2+5x=x(x+3)x(x+5)
2 - On écrit les conditions
La factorisation du dénominateur permet de déterminer quelles sont les valeurs de x pour lesquelles la fraction n'est pas définie.
Les conditions sont x0 et x5.
x(x+3)x(x+5)
3 - On simplifie
On peut simplifier par x.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5
4 - La fraction simplifiée
La fraction rationnelle donnée existe si x0 et x5. La fraction simplifiée existe aux mêmes conditions.
On doit écrire la condition x0, mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x5 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x+5.
La fraction simplifiée est :
x+3x+5 si x0

Une remarque sur l'égalité de deux fractions rationnelles

Fraction rationnelleForme simplifiée
x2+3xx2+5xx+3x+5 si x0
Ces deux fractions rationnelles sont égales. Elles prennent la même valeur pour toute valeur de x pour laquelle elles sont définies.
Fraction rationnelleFraction simplifiée
Valeur si x=2(2)2+3×2(2)2+5×2=1014=2×52×7=2×52×7=572+32+5=57=57=57=57
RemarqueOn a simplifié par 2.La fraction est déjà simplifiée car on a déjà simplifié par x (c'est-à-dire ici par x=2).
Les deux fractions doivent avoir la même valeur pour tout x. Mais que se passe-t-il si x est égal à l'une des valeurs pour lesquelles la fraction rationnelle donnée n'est pas définie. Par exemple, ici, si x=0.
Fraction rationnelleFraction simplifiée
Valeur si x=0(0)2+3×0(0)2+5×0=00=0+30+5=35undefined
La fraction rationnelle donnée n'est définie que si x0, donc on doit écrire la condition x0.

Attention !

Dans la fraction ci-dessous, il ne faut pas céder à la tentation de simplifier par x, car le numérateur et le dénominateur sont des sommes et non des produits
x+3x+5    35
Pour vous en persuader, on prend un exemple numérique. Si x=2 :
2+32+5   35
On ne peut simplifier une fraction rationnelle que si son numérateur et son dénominateur sont des produits.

La marche à suivre

  • 1 - On factorise le numérateur et le dénominateur.
  • 2 - On écrit à quelles conditions la fraction rationnelle existe.
  • 3- On simplifie par les facteurs communs.
  • 4- On écrit les conditions devenues "invisibles" du fait de cette simplification.

À vous !

6) La fraction rationnelle 6x+202x+10 est égale à :
Choisissez une seule réponse :

2) Simplifier x33x24x25x.
si x
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2 - Simplifier x29x2+5x+6

1 - On factorise les deux termes de la fraction
x29x2+5x+6=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x2 et x3.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)
3 - On simplifie
On peut simplifier par x+3.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
x3x+2 si x3
La fraction rationnelle donnée est définie si x2 et x3. On doit écrire la condition x3 mais il n'est pas nécessaire d'écrire la condition x2 car elle est "visible" puisque le dénominateur de la fraction simplifiée est x+2.

A vous !

3) Simplifier x23x+2x21.
Choisissez une seule réponse :

4) La fraction rationnelle x22x15x2+x6 est égale à :
si x
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Et ensuite ?

La leçon suivante est : Simplifier une fraction rationnelle 2. Les simplifications à effectuer sont un peu plus difficiles.

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  • stelly orange style l'avatar de l’utilisateur Elise
    Bonjour !
    Je ne comprend pas comment, et quand, déterminer les conditions d'existence...On peut m'aider ?
    Merci !
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Elisabeth
      Bonjour,
      Je pense que tu es perdue car il y a deux problèmes différents, avec ces conditions d'existence :
      - D'une part, quand on étudie une fonction rationnelle (=donnée sous forme de fraction), celle-ci n'existe pas si son dénominateur est nul. On va toujours spécifier ses conditions d'existence, en rejetant les valeurs de x qui rendent son dénominateur nul.
      - D'autre part, et c'est l'objet de cet article, tu peux "simplement" avoir envie de simplifier une fraction rationnelle, c'est à dire l'écrire sous une forme plus simple, mais avec ta fraction d'origine qui a toujours la même valeur que ta fraction simplifiée. Et ce "toujours" veut dire : pour toutes les valeurs de x.
      Or, quand tu simplifies une fraction, tu fais disparaître du dénominateur un des facteurs. Et ce facteur peut être nul pour une certaine valeur de x (x=0 dans l'exemple 1, x=-3 dans l'exemple 2).
      Comme il a disparu, dans la fraction simplifiée, tu dois spécifier que les deux fractions ne sont égales que si x est différent de ces valeurs-là : celles qui rendaient le dénominateur de la fraction d'origine nul, mais qui ne créent pas de problèmes avec la fraction simplifiée.

      Si ce n'est toujours pas clair, relis bien le paragraphe accessible en cliquant sur "Explication" dans l'exemple 1, ou regarde cette vidéo : https://fr.khanacademy.org/math/3eme-annee-secondaire/xd903d14ae2b1276e:algebre-factorisation-de-polynomes-et-fractions-rationnelles/xd903d14ae2b1276e:fractions-rationnelles-definitions-et-simplification/v/simplifying-rational-expressions-introduction
      (3 votes)
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Priscarla MONDZO
    Bonsoir, comment peut-on simplifie f (x)= 8x(au carré)-10x +3
    Sur 6x (au carré)-x -1
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
  • piceratops seed style l'avatar de l’utilisateur Nabid Syed
    pour l'ex 3 c'est pas plutot x ne doit pas etre egale a -1?
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Vous avez mal lu le corrigé de l'exercice 3.
      Il s'agit de trouver quelle est la fraction rationnelle plus simple égale à F(x)=(x²-3x+2)/(x²-1)
      F(x) n'est pas définie si x = 1 et si x = -1
      Quand on simplifie F(x), on obtient (x-2)/(x+1)
      Si x = 1, (x-2)/(x+1) N'EST PAS EGALE à F(x), puisque F(x) n'est pas définie pour x=1.
      C'est pour cela qu'il faut préciser que (x-2)(x+1) = F(x) à condition que x ≠ 1.
      Mais, bien sûr, Il est clair que ni l'une ni l'autre de ces deux fractions n'est définie si x = -1.
      (1 vote)
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