Voici des fractions rationnelles qui ne sont pas aussi faciles à simplifier que dans la leçon précédente.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.
Avant de commencer, reportez-vous éventuellement à la leçon Simplifier une fraction rationnelle 1.

Le sujet traité

Nous vous proposons des exercices d'entraînement un peu plus difficiles que dans la leçon précédente.

Exemple 1 - Simplifier  10x32x218x~\dfrac{10x^3}{2x^2-18x}

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Le numérateur est un monôme donc on peut aussi le factoriser.
10x32x218x=2×5×x×x22×x×(x9)\dfrac{10x^3}{2x^2-18x}=\dfrac{ 2\times 5\times x\times x^2}{ 2\times x\times (x-9)}
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x0{x\neq0} et x9{x\neq9}.
3 - On simplifie
2×5×x×x22×x×(x9)=2×5×x×x22×x×(x9)=5x2x9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\times 5\times \purpleC{x}\times x^2}{ \tealD 2\times \purpleC{x}\times (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\times 5\times \purpleC{\cancel{x}}\times x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\times \purpleC{\cancel{x}}\times (x-9)}\\ \\ &=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
5x2x9\dfrac{5x^2}{x-9} si x0x\neq 0

A retenir

Cet exemple montre que si l'un des termes de la fraction rationnelle à simplifier est un monôme, il faut le factoriser.

A vous !

Exemple 2 - Simplifier  (3x)(x1)(x3)(x+1)~\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)}

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Il faut remarquer que 3x3-x est le produit de x3x-3 par 1-1.
=(3x)(x1)(x3)(x+1)=1(3+x)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x3{x\neq3} et x1{x\neq-1}.
3 - On simplifie
=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x3)(x1)(x3)(x+1)=1(x1)x+1=1xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
Il n'est pas obligatoire d'effectuer le produit par 1-1 au numérateur, mais on le fait habituellement.
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
1xx+1\dfrac{1-x}{x+1} si x3x\neq 3

A retenir

x3x-3 et 3x3-x sont opposés car 1×(x3)=3x-1\times (x-3)=3-x.
Dans cet exemple, on voit que le quotient de 3x3-x par x3x-3 a été remplacé par -1\textit{-1}.
De façon générale, on remplace le quotient de aba-b par bab-a par 1-1, mais il ne faut pas oublier d'ajouter la condition aba\neq b.

À vous !

A vous !

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