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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 6 

Leçon 1: Simplifier une fraction rationnelle
Mathématiques
Algèbre III
Les fractions rationnelles et les fonctions rationnelles
Simplifier une fraction rationnelle
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Simplifier une fraction rationnelle

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Voici des fractions rationnelles qui ne sont pas aussi faciles à simplifier que dans la leçon précédente.

Prérequis :

Une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Une fraction rationnelle est simplifiée si son numérateur et son dénominateur n'ont pas de facteur commun.

Le sujet traité

Nous vous proposons des exercices d'entraînement un peu plus difficiles que dans la leçon précédente.

Exemple 1 - Simplifier space, start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Le numérateur est un monôme donc on peut aussi le factoriser.
start fraction, 10, x, cubed, divided by, 2, x, squared, minus, 18, x, end fraction, equals, start fraction, 2, times, 5, times, x, times, x, squared, divided by, 2, times, x, times, left parenthesis, x, minus, 9, right parenthesis, end fraction
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x, does not equal, 0 et x, does not equal, 9.
3 - On simplifie
2×5×x×x22×x×(x−9)=2×5×x×x22×x×(x−9)=5x2x−9\begin{aligned}\dfrac{ \tealD 2\times 5\times \purpleC{x}\times x^2}{ \tealD 2\times \purpleC{x}\times (x-9)}&=\dfrac{ \tealD{\cancel{ 2}}\times 5\times \purpleC{\cancel{x}}\times x^2}{ \tealD{\cancel{ 2}}\times \purpleC{\cancel{x}}\times (x-9)}=\dfrac{5x^2}{x-9} \end{aligned}
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
start fraction, 5, x, squared, divided by, x, minus, 9, end fraction si x, does not equal, 0

A retenir

Cet exemple montre que si l'un des termes de la fraction rationnelle à simplifier est un monôme, il faut le factoriser.

À vous !

1) start fraction, 6, x, squared, divided by, 12, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9, x, cubed, end fraction est égale à :
Choisissez une seule réponse :

Exemple 2 - Simplifier space, start fraction, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction

1 - On factorise les deux termes de la fraction
Il faut remarquer que 3, minus, x est le produit de x, minus, 3 par minus, 1.
=(3−x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(−3+x)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{(3-x)(x-1)}{(x-3)(x+1)} \\\\ &=\dfrac{\goldD{-1}{(-3+x)}(x-1)}{{(x-3)}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\quad\small{\gray{\text{}}} \end{aligned}
2 - On écrit les conditions
Les conditions sont x, does not equal, 3 et x, does not equal, minus, 1.
3 - On simplifie
=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−3)(x−1)(x−3)(x+1)=−1(x−1)x+1=1−xx+1\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{{-1}{\tealD{(x-3)}}(x-1)}{{\tealD{(x-3)}}(x+1)}\\\\\\ &=\dfrac{{-1}{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x-1)}{{\tealD{\cancel{(x-3)}}}(x+1)} \\\\ &=\dfrac{-1(x-1)}{x+1} \\\\ &=\dfrac{1-x}{x+1} \end{aligned}
Il n'est pas obligatoire d'effectuer le produit par minus, 1 au numérateur, mais on le fait habituellement.
4 - La fraction simplifiée
La fraction simplifiée est :
start fraction, 1, minus, x, divided by, x, plus, 1, end fraction si x, does not equal, 3

A retenir

x, minus, 3 et 3, minus, x sont opposés car minus, 1, times, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 3, minus, x.
Dans cet exemple, on voit que le quotient de 3, minus, x par x, minus, 3 a été remplacé par start text, negative, 1, end text.
De façon générale, on remplace le quotient de a, minus, b par b, minus, a par minus, 1, mais il ne faut pas oublier d'ajouter la condition a, does not equal, b.

À vous !

4) La fraction rationnelle start fraction, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, divided by, left parenthesis, 2, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction est égale à
Choisissez une seule réponse :

3) Simplifier start fraction, 15, minus, 10, x, divided by, 8, x, cubed, minus, 12, x, squared, end fraction.
si x, does not equal
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

A vous !

4) La fraction rationnelle start fraction, 3, x, divided by, 15, x, squared, minus, 6, x, end fraction est égale à :
Choisissez une seule réponse :

5) Simplifier start fraction, 3, x, cubed, minus, 15, x, squared, plus, 12, x, divided by, 3, x, minus, 3, end fraction.
si x, does not equal
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) La fraction rationnelle start fraction, 6, x, squared, minus, 12, x, divided by, 6, x, minus, 3, x, squared, end fraction est égale à :
Choisissez une seule réponse :

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