Simplifier une fraction rationnelle qui comporte deux variables

alors je te propose cette fraction rationnelle qui est ici et j'aimerais bien que tu essaies de la simplifier alors effectivement ça peut paraître un petit peu impressionnant au départ parce que ici il ya une particularité c'est qu'on a deux variables x et y donc ça peut sembler un petit peu plus compliqué mais en fait il faut faire exactement comme on l'a fait dans les autres vidéos pour simplifier d'effraction rationnelle donc à toi de jouer mais la vidéo sur pause et puis on se retrouve dès que tu es prêt j'ai un polynôme au numérateur qui a un coefficient de 5 en général on est des fois on est obligé de garder ses coefficients là mais si on peut factoriser ce coefficient c'est pas mal en général ça aide à avoir un peu plus clair et ici on peut le faire puisque tous les termes du numérateur sont divisibles par cinq donc je vais faire ça fait déjà factoriser 5 au numérateur 5 x x au carré + 4 x x y +4 y au carré alors ensuite je vais m'occuper du dénominateur donc le dénominateur x au carré - x/y -6 y au carré en fait tu peut le considérer comme un polynôme en x donc imaginer que y était un coefficient ici je vais l'écrire comme saïx carré - y x -6 y au carré donc tu vois on peut le considérer comme un polynôme en x et donc pour le factoriser il va falloir trouver de nombre de quantité a et b qui vont être tels que à x b à x b le produit sera égal à ce terme là donc à -6 y au carré et puis c'est de nombreux la a et b il faut que leur somme soit égal à ce coefficient - y donc il faut que a + b soit égal à - y voilà ça c'est vraiment la technique de la somme du produit qu'on a utilisé des tas de fois dans les autres vidéos pour factories un polynôme degré 2 alors ici la seule différence c'est que a et b et bien il ya des y un donc a priori quand on fait une somme a + b qui doit être égale à -6 grec ça veut dire que a et b sont tous les deux des multiples de y donc a et b il faut les écrire en fonction de y il faut que leur somme soit égal à moins y est que leurs produits soient égales à -6 y au carré donc ce que je peux prendre par exemple c'est à égal 2 x y et b égal - 3 y ça ça va marcher puisque à foix bc2 y fois moins trois y ça fait bien moins six y au carré et puis quand j'additionne a et b g 2 y -3 y ça fait bien moins y donc effectivement ça ça marche et ça veut dire que ce polynôme finalement je peux le factoriser comme ça x + 2 y facteur 2 x -3 y voilà donc en fait c'est vraiment la même technique que celle qu'on a employé avec un polynôme 2° deux là tu peut même penser à ceux polynôme la xe au carré - x - 6 là tu cherches donc de nombre tel que à x b soit égal à -6 et a + b égal à -1 donc ça c'est assez facile tu vois que a est égal à 2 et b égal moins 3 eh bien ça va marcher puisque à fois baissé deux fois moins trois donc c'est moins 6 et a+ bc2 plus - 3 c'est-à-dire moins 1 donc ce polynôme là tu peut en déduire sa factorisation x + 2 facteurs de x - 3 en fait là c'est exactement ce qu'on a fait sauf que ici tu dois penser bien y est là y au carré voilà alors si tu es pas complètement convaincu je t'engage à y réfléchir donc ici on aurait à égal 2 y hé bé égal moins trois y est donc la factorisation ça serait x + 2 y x x -3 y est celle qu'on a trouvé au dessus voilà si cette convainc pas choquant gages à jouer un petit peu avec ces deux expressions développer factoriser et puis aussi ce que tu peux faire éventuellement c étant donné que a et b doivent s'exprimer en fonction des x tu peux très bien écrire à égal n x y d égale m poids y ait joué avec ses équations qui sont ici voilà je te laisse réfléchir à ça en tout cas maintenant notre dénominateur on l'a factoriser et je vais l'écrire ici c'est x + 2 y facteur 2x moins trois y voilà alors là je sais pas très bien ce que je peux factoriser à première vue j'ai rien simplifié en tout cas donc je vais essayer de factoriser le numérateur alors le numérateur ben en fait c'est exactement comme tout à l'heure je vais le considérer comme un polynôme 1 x x au carré +4 y x + 4 y au carré et ça en fait c'est x au carré + 2 x 2 y x x plus 2 y au carré si tu regardes cette expression elle est exactement identique à celle là j'ai juste réorganiser un peu les termes comme ça m'intéresse ici c'est une multiplication et en fait là je reconnais l'identité remarquable j'ai le carré de x le carré de 2 y et puis ici le double produit donc ça je peux le factoriser comme ça c'est x + 2 y au carré donc maintenant alors je vais tracer un trait comme ça pour séparer les calculs intermédiaire donc maintenant cette expression là eh bien je vais pouvoir la réécrire comme ça cinq fois alors cette factorisation x + 2 y alors je vais même l'écrire comme ça c'est x + 2 y au carré cx +2 y x x + 2 y et je divise tout ça par le dénominateur qui est x + 2 y facteur 2 x -3 y or là par contre on voit qu'il ya des facteurs communs puisque en haut je peux / x plus de six grecs et en bas aussi donc là je peux se faire cette simplification là mais il faut faire attention quand on simplifie comme ça quand on fait disparaître une quantité qui est au dénominateur on peut en fait perdre des informations et notamment sur les valeurs interdite parce que si tu regardes l'expression avant la simplification ici eh bien tu vois des valeurs interdite il faut que x soit différent 2 - 2 y sinon ici on aurait une division par zéro et il faut aussi que x soit différent 2,3 y y alors que cette expression là une fois que tu as simplifier je vais la réécrire pour que ce soit plus clair 5 x x +26 grecque / x -3 y pour qu'elle ait un sens cette expression là il faut que x soit différent de trois y sinon ce dénominateur wass annulé par contre je peux tout à fait prendre la valeur x égales - 2 y il ya aucun problème je pourrais faire le calcul ça va me donner 0 donc cette expression là elle est a priori si je la regarde en tant qu elle même elle est définie pour x différent de -2 y donc c'est pas exactement elle n'est pas équivalente à cette expression là ce qui veut dire que si je veux garder des expressions vraiment équivalente il faut que j'ajoute cette condition là x différents 2 - 2 y