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Comment trouver le dénominateur commun le plus simple de deux fractions rationnelles

La résolution de l'équation (-2x + 4)/(x - 1)=3/(x + 1) -1. 

Transcription de la vidéo

je te propose d'essayer de résoudre cette équation là où interviennent des fractions rationnelle alors comme d'habitude mais la vidéo sur pause essaye de trouver toi même les solution de cette équation et puis ensuite on se retrouve alors quand je vois une équation de ce genre là j'ai deux reflex le premier c'est de regarder s'il ya des valeurs interdit c'est à dire de vérifier pour quelle valeur cette équation a effectivement un sens alors ici il faut que les deux dénominateurs qui sont impliqués donc x - et x +19 s'annule pas donc il faut que x soit différent de 1 pour que ce dénominateur là ne s'annule pas et que x soit différent 2 - 1 pour que ce dénominateur là ne s'annule pas voilà ça c'est un premier réflexe qui est important à avoir toujours vérifier les valeurs interdite et puis le deuxième réflexe que j'ai c'est qu'instinctivement j'ai envie de me débarrasser des dénominateurs qui apparaissent donc ce que je peux faire pour ça c'est multiplier ici cette fraction la part x monza je vais là x x -1 comme ça ici le dénominateur va se simplifier alors évidemment si je multiplie à gauche par x - il faut que je le fasse aussi à droite donc ici je vais x x - ça alors je te ferai remarquer que comme x est différent de 1x coinsins ne peut pas être égal à zéro donc là on ne peut pas avoir pris de risque 2 x 0 donc ça c'est important et puis à droite du signe égal ici j'ai un dénominateur aussi x + 1 dont j'aimerais me débarrasser alors pour ça je vais x x + 1 donc ici je multiplie par x + 1 et si je le fais aux membres de droite évidemment pour garder le signe égal il faut que je multiplie aux membres de gauche par x + 1 aussi donc l'équation que j'avais elle est équivalente à celle ci pour ces valeurs là et ici je peux faire la même remarque tout à l'heure x + 1 ne peut pas être égal à zéro puisque x est différente moins ça donc on obtient cette équation équivalente avec bien sûr cette trace des valeurs interdite qu'il faut garder en tête et maintenant je vais travailler mon équation alors je vais la réécrire un petit peu mieux déjà j'ai ce facteur qui va se simplifier avec ce facteur aux membres de gauche donc aux membres de gauche je vais avoir x + 1 facteur 2 - 2 x + 4 - 2 x + 4 et au nombre de droite alors je vais avoir ici quand je développe j'aurais 3 x x + 1 x x - 1 x x + 1 ici je vais pouvoir faire des simplifications puisque le dénominateur x + 1 va se simplifier avec celui qui est là donc je vais avoir en fait trois fois x - 1 3 x x - 1 premier terme x tout ça et puis ensuite - 1 x x moisins x x plus donc moins x moisan x x + 1 voilà c'est une équation quand même un peu plus pratique puisque l'âge et plus aucun dénominateur alors je vais développer tout ça ici x fois moins 2 x senden - 2 x au carré et puis plus 4 x ici donc plus 4x ensuite j'ai plus une fois moins 2 x donc moins 2 x et puis plus une fois 4 dont +4 ça c'est pour le membre de gauche aux membres de droite je vais avoir alors déjà ici je vais avoir 3 x x moins trois fois 1 donc 3 x - 3 et puis ici donc le signe - qui est là et je vais développer tous ceux polynôme là alors pour ça tu peux faire ce que ce que j'ai fait ici c'est à dire utiliser la double distributive it et pour développer le polynôme x moisins x x + 1 mais ici quand même on peut remarquer que c'est une identité remarquable 1x moisins x x + 1 c'est égal à ixxo carré - 1 voilà donc je décris comme ça maintenant je vais réécrire tout ça un peu plus proprement en faisant les simplifications que je peux faire donc à gauche j'ai moins 2 x au carré + 4 x - 2 x ça donne plus 2 x + 4 égal alors ici j'aurais 3x -3 - x au carré plus ça donc ici je verrai écrire ça un peu mieux - 2 x o car est plus 2x plus quatre là je change rien ici je vais leur écrire un petit peu mieux je vais mettre tous dans l'ordre des exposants des croissants et faire les simplifications donc moins x au carré + 3 x - 3 + 1 ça fait moins deux voix là et maintenant je vais tout faire passer à gauche du signe égal pour me ramener à une équation sous forme habituelle de degré 2 donc pour ça il faut que j'ajoute ici x au carré que je soustrais - 3 x et que j'ajoute 2 aux membres de droite comme ça ici je vais avoir zéro mais si j'ajoute ça aux membres de droite il faut que je fasse la même chose de l'autre côté donc ici j'ajoute x au carré je soustrais 3x et j'ajoute 2 voilà alors maintenant je vais faire les calculs en colonnes comme ça ici je vais donc avoir moins 2 x o car est plus xo carhaix ça me donne moins x au carré plus 2x moins 3 x ça fait moins x + 4 + 2 + 6 et de l'autre côté bien normalement j'ai zéro puisque j'avais tout fait pour ça - 6/4 et +6 au carré +3 6 mois 3 x - de +2 tout s'annule bien et donc je me retrouve avec cette équation la moins x au carré - x + 6 égal zéro qui est quand même beaucoup plus simple je vais même la simplifier un petit peu plus je vais multiplier des deux côtés je vais tout x - 1 donc ça va me donner x au carré +6 -6 égal 0 donc voilà ça c'est une équation de degré 2 que tu peux résoudre de toute façon par exemple en utilisant le discriminant mais ici à quelque chose de beaucoup plus simple faudrait que je trouve de nombreux et b dont le produit est égal à -6 donc ça veut dire que a et b sont forcément de signes différents tels que a + b est égal à 1 donc 6 ces deux fois 3 donc ici je pourrai prendre moins 2 et 3 par exemple et ça ça va marcher puisque moins de +3 ça fait 1 et moins 2 fois 3 ça fait moins 6 donc ce polynôme la x o car est plus 6 - 6 je peux le factoriser de cette manière la cx -2 facteur 2 x + 3 donc mon équation s'écrit comme ça x - 2 x x + 3 égal 0 et donc on trouve deux solutions x égal 2 ou x égal moins 3 alors là on ne s'arrête pas tout de suite parce qu'on a trouvé des solutions en fait c'est pas forcément les solutions de notre équation de départ la seule chose dont on est sûr c'est que ce sont les solutions de cette équation la x o car est plus six mois six égal zéro mais il faut quand même confronté ça avec les valeurs interdite qu'on avait au départ parce qu'il se pourrait très bien que une de ces valeurs là soit une valeur interdit de noter quoi sion de départ auquel cas il faudrait évidemment supprimer cette valeur là de l'ensemble des solutions ici c'est pas le cas puisque les valeurs interdite c'était un et -1 donc finalement ces deux valeurs laïques segal 2 et x égal moins 3 ce sont les solutions de mon équation de départ x et gagnent 2 ou x égal moins 3