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Algèbre III

Cours : Algèbre III > Chapitre 11

Leçon 1: Suites arithmétiques

Passer d'une formule explicite d'une suite arithmétique à sa formule de récurrence, et inversement

Comment passer de la définition par récurrence d'une suite arithmétique à sa définition par une formule explicite et inversement.

Prérequis : Établir la formule de récurrence qui définit une suite arithmétique et Etablir une formule explicite qui définit une suite arithmétique.

Déduire une formule explicite de la suite arithmétique de sa définition par récurrence

Une suite arithmétique est définie par :

${\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 \end{cases}$ ‍

D'après cette formule,

Le premier terme de la suite est $3$ ‍.
Chacun des termes de la suite est la somme du terme précédent et de $2$ ‍. C'est-à-dire que la raison de la suite est $2$ ‍.

Comment la définir sous forme explicite ?

Une formule explicite d'une suite arithmétique

(u)

de premier terme

u_{1} = A

et de raison

B

est : pour tout

n \geq 1

u_{n} = A + B (n - 1)

Donc une formule explicite de la suite

(a)

est : pour tout

n \geq 1

a_{n} = 3 + 2 (n - 1)

À vous !

1) Écrire une formule explicite de la suite définie par :

{\begin{cases} b_{1} = - 22 \\ b_{n + 1} = b_{n} + 7 \end{cases}

b_{n} =

[J'ai besoin d'aide.]

2) Écrire une formule explicite de la suite définie par :

{\begin{cases} c_{1} = 8 \\ c_{n + 1} = c_{n} - 13 \end{cases}

c_{n} =

[J'ai besoin d'aide.]

Déduire la définition par récurrence de la suite arithmétique de sa formule explicite

Exemple 1 : La formule explicite est sous forme classique

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :

Pour tout $n \geq 1$ ‍, $d_{n} = 5 + 16 (n - 1)$ ‍

Dans la formule "pour tout

n \geq 1

u_{n} = A + B (n - 1)

A

est le premier terme de la suite et

B

est sa raison. On en déduit que :

le premier terme de la suite est $5$ ‍
sa raison est $16$ ‍.

Pour écrire sa définition par récurrence il faut connaître :

Le premier terme de la suite. Ici, on sait que le premier terme est $5$ ‍.
La relation qui lie deux termes consécutifs de la suite. Ici, on sait que chacun des termes égal à la somme du terme précédent et de $16$ ‍.

Donc sa définition par récurrence est :

{\begin{cases} d_{1} = 5 \\ d_{n + 1} = d_{n} + 16 \end{cases}

Exemple 2 : La formule explicite est sous forme développée et réduite

Une formule explicite d'une suite arithmétique est :

Pour tout $n \geq 1$ ‍, $e_{n} = 10 + 2 n$ ‍

Le deuxième membre de la formule est sous la forme

A + B n

Donc le premier terme de la suite et sa raison ne sont pas en évidence et on doit les calculer.

$e_{1} = 10 + 2 \times 1 = 12$ ‍
$e_{2} = 10 + 2 \times 2 = 14$ ‍

Donc le premier terme de la suite est

12

et sa raison est

2

Donc sa définition par récurrence est :

{\begin{cases} e_{1} = 12 \\ e_{n + 1} = e_{n} + 2 \end{cases}

À vous !

3) Une formule explicite de la suite arithmétique

(f)

est : pour tout

n \geq 1

f_{n} = 5 + 12 (n - 1)

Quelles sont les valeurs de $A$ ‍ et de $B$ ‍ dans sa formule de récurrence ?

{\begin{cases} f_{1} = A \\ f_{n + 1} = f_{n} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

4) Une formule explicite de la suite arithmétique

(u)

est : pour tout

n \geq 1

u_{n} = - 11 - 8 (n - 1)

Quelles sont les valeurs de $A$ ‍ et de $B$ ‍ dans sa formule de récurrence ?

{\begin{cases} u_{1} = A \\ u_{n + 1} = u_{n} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

5) Une formule explicite de la suite arithmétique

(v)

est : pour tout

n \geq 1

v_{n} = 1 + 4 n

Quelles sont les valeurs de $A$ ‍ et de $B$ ‍ dans sa formule de récurrence ?

{\begin{cases} v_{1} = A \\ v_{n + 1} = v_{n} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

6) Une formule explicite de la suite arithmétique

(w)

est : pour tout

n \geq 1

w_{n} = 23 - 6 n

Quelles sont les valeurs de $A$ ‍ et de $B$ ‍ dans sa formule de récurrence ?

{\begin{cases} w_{1} = A \\ w_{n + 1} = w_{n} + B \end{cases}


$A =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍	$B =$ ‍ Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

Un dernier exercice

7*) La suite arithmétique $101, 114, 127, …$ ‍ est la suite où, pour tout $n \geq 1$ ‍, :

[J'ai besoin d'aide.]

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