Dans l'exercice 5, la 3e suite me paraît être arithmétique puisque chacun des termes de la suite est égal au produit du terme précédent par 3. Les termes sont : 3, 9, 27, 81, ... -> 3*3=9 ; 3*9=27 ; 3*27=81. Pourquoi elle n'en est pas une dans ce cas ? A moins que la raison soit uniquement une addition ou une soustraction mais si c'est la cas, je ne comprends pas l'exercice 3, la raison étant *2 ...

la raison d'une suite arithmétique peut uniquement être une addition ou une soustraction. c'est pour les suites géométriques que la raison sera une multiplication. :)

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Cours : Algèbre III > Chapitre 11

Leçon 1: Suites arithmétiques

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique

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Premiers pas dans le monde des suites.

Le seul prérequis indispensable est de savoir additionner des nombres de signes quelconques.

Qu'est-ce qu'une suite ?

Voici des listes de nombres :

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

De telles listes s'appellent des suites. Un élément d'une suite est appelé un terme de la suite.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
$1^{er} terme$ ‍	$2^{e} terme$ ‍	$3^{e} terme$ ‍

Les termes des suites étudiées en mathématiques sont toujours liés par une règle.

Par exemple, dans la suite

3, 5, 7, …

chacun des termes est égal à la somme de deux et du terme précédent :

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

Les trois petits points signifient que la suite ne se limite pas à ces trois termes mais qu'elle est constituée d'autant de termes que l'on veut.

S'il est possible de calculer autant des termes d'une suite que l'on veut, c'est grâce à la règle qui lie chacun des termes au terme suivant.

Par exemple, le quatrième terme de la suite précédente est

9

, le cinquième terme est

11

, etc.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

À vous !

Quel est le $4^{e}$ ‍ terme de chacune de ces suites ?

Exercice 1

Définition : chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de cinq.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Exercice 2

Définition : chacun des termes de la suite est égal à la somme du terme précédent et de

- 3

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

Exercice 3

Définition : chacun des termes de la suite est égal au produit du terme précédent par

2

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		Votre réponse doit être un entier, comme $6$ ‍ une fraction simplifiée telle que $3 / 5$ ‍ une fraction simplifiée telle que $7 / 4$ ‍ un nombre fractionnaire, par exemple, $1 3 / 4$ ‍ un nombre décimal, comme $0, 75$ ‍ un multiple de Pi, tels que $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍ $, …$ ‍

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		$18, …$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		$11, …$ ‍

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		$24, …$ ‍

Exercice 4

Remettre les éléments de la deuxième colonne dans le bon ordre.

1

Voici les quatre suites et leurs définitions :

	$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$11,$ ‍		$18,$ ‍		$25, …$ ‍

	$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍
$40,$ ‍		$20,$ ‍		$10,$ ‍		$5, …$ ‍

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$100,$ ‍		$96,$ ‍		$92,$ ‍		$88, …$ ‍

	$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$12,$ ‍		$36,$ ‍		$108, …$ ‍

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique?

Dans beaucoup de ces exemples, on passe d'un terme au suivant en additionnant toujours le même nombre (parfois un nombre positif parfois un nombre négatif). Les suites de ce type sont appelées des suites arithmétiques.

Par définition, une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe.

Par exemple, la suite

3, 5, 7, 9, …

est une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de

2

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

La suite

21, 16, 11, 6, …

est aussi une suite arithmétique car chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de

- 5

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

Mais la suite

1, 2, 4, 8, …

n'est pas une suite arithmétique, car le deuxième terme est égal à la somme du premier terme et de

1

et le troisième terme est égal à la somme du deuxième terme et de

2

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

À vous !

Exercice 5

Cocher les suites arithmétiques.

Voici les quatre suites :

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$11,$ ‍		$15,$ ‍		$19,$ ‍		$23, …$ ‍

Chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de

4

donc c'est une suite arithmétique.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍
$0,$ ‍		$1,$ ‍		$3,$ ‍		$6, …$ ‍

Il n'est pas vrai que chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe, donc ce n'est pas une suite arithmétique.

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 18 ↷$ ‍		$+ 54 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$9,$ ‍		$27,$ ‍		$81, …$ ‍

Il n'est pas vrai que chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe, donc ce n'est pas une suite arithmétique.

	$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍
$29,$ ‍		$20,$ ‍		$11,$ ‍		$2, …$ ‍

Chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de

- 9

donc c'est une suite arithmétique.

Exercice 6

Le premier terme d'une suite arithmétique est $1$ ‍. Quelle peut être sa définition parmi les quatre définitions ci-dessous ?

"On passe d'un terme au suivant en lui ajoutant

4

" est une autre façon de dire que "chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de

4

. Donc il faut cocher la première proposition.

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$5,$ ‍		$9,$ ‍		$13, …$ ‍

De même, "On passe d'un terme au suivant en lui retranchant

4

" est une autre façon de dire que "chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et de

- 4

. Donc il faut cocher la troisième proposition.

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 7,$ ‍		$- 11, …$ ‍

En revanche si "on passe d'un terme au suivant en le multipliant par

4

", la suite obtenue n'est pas une suite arithmétique :

	$+ 3 ↷$ ‍		$+ 12 ↷$ ‍		$+ 48 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$4,$ ‍		$16,$ ‍		$64, …$ ‍

De même si "on passe d'un terme au suivant en le divisant par

4

", la suite obtenue n'est pas une suite arithmétique :

	$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{16} ↷$ ‍		$- \frac{3}{64} ↷$ ‍
$1,$ ‍		$\frac{1}{4},$ ‍		$\frac{1}{16},$ ‍		$\frac{1}{64}, …$ ‍

La raison d'une suite arithmétique

Une suite arithmétique est une suite où chacun des termes est égal à la somme du terme précédent et d'un nombre fixe. Ce nombre fixe s'appelle la raison de la suite.

Par exemple, la raison de la suite

10, 21, 32, 43, …

est

11

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

La raison de la suite –2, –5, –8, –11 ... est

- 3

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

À vous !

Exercice 7

Quelle est la raison de la suite arithmétique $2, 8, 14, 20, … ?$ ‍

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$8,$ ‍		$14,$ ‍		$20, …$ ‍

Exercice 8

Quelle est la raison de la suite arithmétique $5, 2, - 1, - 4 … ?$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$5,$ ‍		$2,$ ‍		$- 1,$ ‍		$- 4, …$ ‍

Exercice 9

Quelle est la raison de la suite arithmétique $1, \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, 2, … ?$ ‍

	$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍
$1$ ‍		$\frac{4}{3},$ ‍		$\frac{5}{3},$ ‍		$2, …$ ‍

Une question

On donne une suite arithmétique de raison négative. Quelles sont les propositions vraies ?

La raison de la suite est négative donc chacun des termes de la suite est inférieur au terme précédent. On en déduit que la suite est décroissante.

Certains termes de la suite peuvent être négatifs et d'autres positifs. Voici trois exemples de suites arithmétiques dont la raison est négative et qui comportent aussi bien des termes négatifs que des termes positifs :

	$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$1,$ ‍		$0,$ ‍		$- 1, …$ ‍

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$7,$ ‍		$2,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 8, …$ ‍

	$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 13,$ ‍		$- 21, …$ ‍

NB. Ces trois suites sont décroissantes.

Un dernier exercice

Soit la suite arithmétique de premier terme

10

et de raison

- 7

Quel est le quatrième terme de cette suite ?

Sachant que le premier terme de la suite est

10

et que sa raison est

- 7

, de proche en proche on peut en déduire le quatrième terme :

	$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$3,$ ‍		$- 4,$ ‍		$- 11, …$ ‍

Le quatrième terme de la suite est égal à $- 11$ ‍.

La suite ?

Vous verrez dans la leçon "Définir une suite arithmétique par une formule" que l'on peut établir quelle est l'expression du terme de rang

n

en fonction du premier terme et de la raison.

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Joanna Rdg
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Joanna Rdg «Dans l'exercice 5, la 3e ... »
Dans l'exercice 5, la 3e suite me paraît être arithmétique puisque chacun des termes de la suite est égal au produit du terme précédent par 3. Les termes sont : 3, 9, 27, 81, ... -> 3*3=9 ; 3*9=27 ; 3*27=81. Pourquoi elle n'en est pas une dans ce cas ?
A moins que la raison soit uniquement une addition ou une soustraction mais si c'est la cas, je ne comprends pas l'exercice 3, la raison étant *2 ...
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Réponse
- Ilan Aisenberg
  Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Ilan Aisenberg «la raison d'une suite ari ... »
  la raison d'une suite arithmétique peut uniquement être une addition ou une soustraction. c'est pour les suites géométriques que la raison sera une multiplication. :)
  Commentez le post de Ilan Aisenberg «la raison d'une suite ari ... »
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muriel bullot
Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de muriel bullot «exercice 4 : il doit manq ... »
exercice 4 : il doit manquer certainement une virgule dans la dernière ligne du tableau c'est écrit 4,12,36108
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 5 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «L'erreur est corrigée. La ... »
  L'erreur est corrigée.
  La version corrigée devrait être en ligne, lundi.
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