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Transcription de la vidéo

bonjour et bienvenue sur cette présentation sur les suites alors dans le langage courant le mot suite je pense que pratiquement tout le monde le comprend comme étant une collection une famille d'un certain type d'objet en mathématiques c'est à peu près ça que ça va vouloir dire mais bon comme en étant mathématiques la première chose c'est qu'on va parler de suite numérique c'est-à-dire de collection d'objets qui vont être des nombres et puis une deuxième précision importante c'est qu'on va parler d'une collection de nombre mais que ses nombreux là vont être ordonnés donc une suite finalement en mathématiques une suite numérique c'est une liste ordonné de nombres une liste ordonné de nombres alors je peux suit un exemple de suite si je prends ces nombreux la 1 4 5 11 là j'ai défini une suite de nombres et donc les éléments de cette suite on appelle ça les termes de cette suite eh bien ce sont les nombres 1 4 5 et 11 prix dans cet ordre là le inquiète ici c'est le premier terme le 4 c'est le deuxième terme le syndic c'est le troisième terme et le onze qui hélas est le quatrième et le dernier terme alors il faut bien faire la différence entre une un ensemble de nombres est une suite de nombres ici c'est le mot ordonnée qui change tout et qui fait la différence entre une suite est un ensemble de nombres alors cette suite la halle à quelque chose de particulier puisqu'elle est constituée seulement de quatre éléments et les suites qui sont constitués comme celle là d'un nombre fini d'éléments on dit que ce sont des suites fini des suites fini voilà alors dans le cas de suite comme ça de suite finie ce qui est bien pratique c'est qu'on peut les définir en eux en listant directement tous leurs leur terme c'est à dire en donnant une définition extensive de la suite elle même le problème c'est que toutes les suites ne sont pas finis en fait la plupart du temps on va avoir affaire à ce qu'on appelle des suites infinie des suites infinie c'est à dire que ça va être une liste ordonné de nombre mais la différence c'est que cette fois ci va y avoir une infinité de nombres une infinité de termes pour le premier exemple de suite infini qui me vient à l'esprit là comme ça c'est la suite des nombres entiers positif perd donc la suite des entiers positif strictement positif on va dire perd donc si je la définit comme ça cette suite je vais clairement défini a aucune ambiguïté c'est la suite des nombres de quatre six huit et ainsi de suite donc je peux l'écrire comme ça avec ses 3 petits points là puisque évidemment je ne peux pas listé la totalité des entiers positif père puisqu'il y en a une infinité justement donc ça c'est bien une suite infinie c'est une liste ordonné de nombre il ya le premier terme ici qe2 ça c'est le premier terme le deuxième terme ici qui est quatre le troisième terme qui est 6 et ainsi de suite alors ici j'ai donc et finis ma suite de deux manières différentes la première par des mots qui sont tout à fait efficace c'est à dire que là j'ai défini complètement ma suite en expliquant de quoi il s'agit en donnant les caractéristiques des termes de cette suite ici je les définit un peu comme au dessus c'est à dire en extension le problème c'est qu'il ya ces trois petits points là qui sont ici qui rendent les choses un peu délicate c'est à dire que dans ce cas-là 2 4 6 8 je pense que la plupart des gens comprendront que le prochain le terme d'après ces dix c'est le nombre pair suivant mais dans le cas de suite un fini c'est pas du tout toujours aussi simple de pouvoir interpréter ces petits points là donc si tu veux par exemple je prends un autre exemple je vais donner cette suite l'a15 9 13 17 et ainsi de suite donc les trois petits points là indique qu'il ya une infinité de termes suivants alors loi quand j'écris ça je sais exactement de quoi je parle c'est à dire que je sais qu'elle est le terme qui vient après quel est le terme qui vient encore après je sais ce que j'ai voulu entendre par ses trois petits points qui sont là ce qui est embêtant c'est que c'est peut-être pas du tout aussi clair pour toi peut-être que toi tu ne vois pas du tout quel est le terme qui vient après le 10 est ici donc ce que je veux te faire sentir là c'est que quand on a une suite infini en général c'est pas du tout évident de la donner une définition puisqu'on ne peut pas listé une infinité de terre donc dans le cas de suite un fini on va se heurter à un problème un gros problème c'est comment est-ce qu'on peut définir une suite maintenant on va parler principalement de ça donc je vais revenir je vais garder ça comme ça puisqu'on va se servir de ces deux exemples alors on je vais introduire un petit peu de notation quand j'écris ça pue indice n entre parenthèses avec n qui est un nombre entier l'âge indique une suite numérique indexés par l'ensemble des antiennes naturelles et les nombres de cette suite si on s'appelait eu un dix cennes alors ici précisément si tu veux je peux l'écrire comme ça ici le petit n appartient tous les ans ce qui est naturel donc en particulier le premier en fait c'est pas un c'est zéro donc ici le premier terme ça va être une 0 le deuxième terme ça va être humain le troisième terme ça va être du 2 le quatrième terme cu trois et ainsi de suite alors de cette manière je pense tout de suite savoir quel est le nom donné au centième terme le centième terme hermes eu 99 alors il faut faire attention le sens yens terme ait eu 99 parce qu'ici j'ai appelé le premier terme use héros et non pas eu un si tu veux on peut faire un autre exemple je prends une suite vn qui va être indexé non pas par elle mais par haine étoiles donc par les entiers positif strictement positif du coup là je peux dire que le premier terme ça sera v1 le deuxième terme ça sera v2 le troisième terme ça sera v3 et ainsi de suite et dans ce cas là tu vois que le centième terme du coup on l'obtient de manière plus homogène c'est v100 alors il ya un mot qu'il faut connaître c'est le mot le rang d'un terme on dit aussi l' indice d'un terme et bien c'est le petit n qui est là en indices dans les deux cas dont q5 c'est le terme de rang cinq de rang 5 2 la suite du n 2 la suite humaines et de la même manière le v12 c'est le terme de rang 12 de la suite vn voilà donc ça s'est un peu de vocabulaire peut juste faire attention au fait que le rendent un terme ne correspond pas forcément à sa position dans la suite c'est le cas ici pour la suite vn n'est pas pour la suite hussein en fait tout dépend de quel nombre on prend comme première index de la suite alors va commencer d'abord par cet exemple la suite des nombres pairs donc je copie ça donc rapidement je reviens un petit peu en arrière on m'a deux manières de définir cette suite qui sont donnés ici la première avec des mots qui est tout à fait efficace très clair on sait exactement de quoi on parle mais qui a quand même un désavantage c'est qu'elle s'exprime avec des mots et non pas en langage mathématique donc ça va être difficile de faire des calculs par exemple sur les termes comme ça de cette suite si on les nomme de cette manière là avec des mots la deuxième façon c'était une manière extensive de la notte mais avec quelque chose de pas très convaincante qui étaient ces trois petits points là ici alors pour commencer je vais donner des noms assez nombre donc ici le premier terme je vais l'appeler à 1 le deuxième terme je vais l'appeler à 2 le troisième terme je vais l'appeler à 3 le quatrième terme je vais l'appeler à 4 et ainsi de suite donc tu vois que ma suite en fait je peux l'appeler comme ça ca n la suite des termes que j'appelle à un dix cennes et puis lundi va de 1 jusqu'à l'infini donc ce sont des nombres entiers naturels non nul voilà que je note comme ça maintenant je vais essayer de trouver une définition explicite une définition explicite de cette suite sur explicite en clair ça veut dire que je vais essayer de trouver une formule qui va me permettre de calculer directement le terme de rang n donc le nombre à n un dix cennes en fonction de son rang pour ça je vais commencer par partir de ce que je sais je sais que cette suite là c'est la suite des entiers positif perd donc tous ces termes son père donc en particulier le terme de rang n à 1,10 m et bien c'est un nombre pair ça veut dire que je vais pouvoir l'écrire comme deux fois un nombre entier alors si je regarde ce qui se passe le terme à 1 il est égal à 2 et 2 effectivement ces deux fois 1 alors je vais prendre des couleurs tu vas voir pour faire apparaître les choses le terme à un ces deux fois ensuite le terme a-2 le terme a-2 et bien c quatre et quatre en fait ces deux fois 2 donc ici je vais aussi utiliser les couleurs le terme d' un 10-2 c'est à 2 essais 2 x 2 le terme d'un 10 3 c'est à 3 c'est le troisième terme de masse huit essais 6 et 6 en fait ces deux fois 3 donc là aussi on a le terme d'un 10,3 qui est égal à 2 x 3 et là on voit se dégager une formule en fait qui va nous donner directement le terme de rang n en fonction de son rang puisque en fait on peut dire que le terme de rang n est bien ces deux fois n cela j'utilise les couleurs encore le terme de rang end un dix cennes ces deux fois n voilà ça c'est une formule qui permet de calculer le terme de rang n directement simplement à partir de son rang donc si tu veux maintenant on a une manière très claire et très précise de définir notre suite en fait on va dire que la suite à nc la suite de forme explicite de forme explicite à n égale 2 n donc ça c'est une manière très précise de définir notre suite en donnant une formule qui donne le terme de jaén en fonction de haine et avec cette formule je peux calculer n'importe quel terme de cette suite directement par exemple je peux calculer quelle est le 323e entier positif père c'est à dire le terme à 323 à 1 10 323 et bien ces deux fois 323 c'est-à-dire 646 alors je fais quand même une petite remarque c'est que quand on a une définition explicite comme celle là en fait une suite n'est rien d'autre qu'une fonction on pourrait très bien écrire à indice n ont pour l écrire comme à 2 n donc comme une fonction du nombre rennes dont on donne l'expression qui est deux fois n alors il ya d'autres manières de définir une suite une autre manière très courante c'est ce qu'on appelle une définition par récurrence par récurrence alors une définition par récurrence c'est une définition dans laquelle un terme est défini à partir du terme qu'il précède donc le terme de rang n on peut l'obtenir si on connaît le terme de rang n - un terme qui vient juste avant alors on va reprendre l'exemple de tout à l'heure la suite qui était donné par 1,5 on avait défini comme ça 9 13 17 et ainsi de suite alors un oeil averti pourra remarquer ici quel est le lien entre les nombres qui sont là ici on passe de 1 à 5 donc on va ajouter 4 + 4 ici on passe de cinq à neuf dont qu'ici aussi on a ajouté 4 là on passe de 9 à 13 et on a ajouté 4 6 ici on passe de 13 à 17 en ajoutant encore une fois 4 donc a priori ce qu'on a voulu dire par ses trois petits points là c'est que on passe d'un terme à l'autre en ajoutant toujours quatre alors on va préciser un petit peu cette suite là je vais l'appeler wwn et je vais indexé cette suite sur l'ensemble des nombres entiers comme ça strictement veut positif donc ça veut dire que ce nombre-là en fait c w 1 ce nombre là cinq cw 2 ce nombre la cw 3,13 ici c'est le quatrième terme w4 et ici gw 5 et ainsi de suite mais il ya des manières de formaliser ce et ainsi de suite ici pour que ce soit très clair ce que je peux faire c'est dire que pour calculer le terme de rang n le terme de rang ncw n est bien ce que je peux faire c'est prendre le terme précédent donc le terme précédent c'est le tome le terme de rang n - 1 donc cw indice n - un plus 4 voilà ça c'est ce qu'on appelle une formule de récurrence une formule de récurrence c'est à dire que si tu une formule qui lie un terme à celui qui le précède alors ça ne suffit pas en général pour définir une suite puisque tu vois que ce qui nous manque comme information c'est qu'on est parti du nombre double verts on pourrait très bien partir du nombre w4 par exemple et avoir uniquement la suite 13 17 21 et ainsi de suite dans cette suite là on est parti du premier terme qui est égal à 1 donc si on veut avoir une définition précise il faut ajouter que w1 est égal à 1 voilà et là on obtient une définition de la suite w haine qui est tout à fait cohérente je vais l'encadrer masse 8 w end je l'a défini de cette manière là en donnant une formule de récurrence qui permet de trouver un terme en fonction du précédent et en donnant un premier terme ici w1 qui est égalament voilà on va s'arrêter là ça fait une vidéo un petit peu longue mais quand même avec plein de choses importantes j'attire ton attention pour terminer sur une confusion très très fréquentes très souvent on confond on a tendance à confondre une suite bn comme ça avec haine indexés sur incertaine ensemble là je mets haine mais ça peut être un autre ensemble et les termes de cette suite le terme de d'un 10n cbn ça c'est un nombre qui est le terme de hre en n2 cette suite et ça c'est une collection de nombre donc il faut faire attention à bien comprendre cette différence là à bientôt