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Trouver l'expression d'une fonction périodique à partir de sa courbe

Transcription de la vidéo

on te demande de trouver l'expression de f2 x dont la courbe a été représentée ici en bleu et en un coup d'oeil tu vois que c'est une fonction périodiques il ya des cycles qui se répètent et j'ai une technique infaillible pour toi pour arriver à résoudre n'importe quel exercice de ce genre et pour ça il faut connaître et comprendre l'expression générique d'une fonction périodiques n'importe quelle fonction périodiques comme eve 2 x s'exprime de la manière suivante déjà c'est une fonction qui commence par plus ou moins et qui est une fonction sinus ou caussinus signe ou son côté news de quoi que seignus de 2 pi / une variable paix qui s'appelle la période ses premiers paramètres de la fonction depuis / p x x plus une une variable qui s'appelle qui s'appelle fille qui s'appelle le déphasage mais pour l'instant on est au niveau débutant et je vais une jeune des pâtes embêter avec free on va prendre pour l'instant des fonctions ou fille est égal à zéro comme ça c'est plus simple et on multiplie toute cette partie de la fonction la partie sinueuse caussinus par un paramètre à qui et l'amplitude mais tu sais ce que c'est l'amplitude et la période on a déjà vu ça dans une autre vidéo donc on à l'amplitude de la période est une vire à qu'est ce qui nous manque quelque chose et oui il nous manque la valeur moyenne qu'on ajoute à la fin ici de la fonction plus m est ce m c'est la moyenne donc voilà comment s'exprime une fonction périodique à chaque fois c'est plus ou moins une amplitude fois un signe selon un consensus de 2 pi surper fois ixupi la période plus la valeur moyenne voilà et avec c'est avec cette expression en tête on va faire le lien avec le graphique et on va voir comment on peut exprimer fdx normalement à partir de ce moment dans la vidéo tu devrais pouvoir te débrouiller tout seul alors tout d'abord ce qu'on va déterminer c'est le type de fonction qu'on a est ce qu on a un plus ou plus ou moins sinus un plus caussinus ou en moins caussinus alors allons-y comment est ce qu'on détermine ça il ya une méthode assez systématique il faut regarder ce qui se passe à x égal 0 je regardais ce qui se passe à x égal zéro et imaginons que la valeur moyenne se situe ici et ici je la droite d'équations îles grecques et eyal à m j'ai pris une valeur moyenne au hasard ensuite par rapport à cette valeur moyenne imaginons kx égal zéro la fonction des marques comme ça eh ben ça tu sais que c'est typique de la fonction caussinus la fonction caussinus commence à son maximum car caussinus 2 0 est égal à 1 ça c'est la valeur maximum de la fonction caussinus donc là on aura une fonction plus caussinus et dans quels cas est-ce qu'on a une fonction - caussinus et d'un ces camps en a le symétrique de ça par rapport à sa taxe et ce genre de fonction qui commence par son minimum c'est une fonction - caussinus alors tu sais qu'une fonction que le sinus commence par un minimum ou un maximum et une fonction sinus elle commence toujours à la valeur moyenne mais elle peut commencer de deux manières différentes elle peut commencer comme ça ou comme ça et c'est ça qui différencie plus sinus ou moins sinus et tu sais que la fonction plus sinus ballet croissante dans le premier cas de rang elle va de zéro jusqu'à 1 et du coup quand on a une fonction croissante qui passe par la valeur moyenne ax liga 2 0 on a une fonction plus sinus et dans le cas contraire on a sa réflexion par rapport à cette taxe donc c'est moins sinus voilà les quatre cas possible dans notre exercice dans quels cas est ce qu'on se situe dans quelques as constitue pas fort regarder ce qui se passe à x égal zéro et on voit que la fonction avec segal 0 elle passe par sa valeur moyenne donc on a clairement à faire une fonction sinus et pas une fonction caussinus dans ce cas là même si l'un peut être exprimé en fonction de l'autre mais passons ce point on a affaire à une fonction sinus pour exprimer notre fonction le plus simplement possible et on a une fonction qui est croissante lorsque x égal 0 donc on a affaire au cas d'une fonction plus sinus dans le cas présent alors voilà maintenant qu'on a déterminé sa il nous reste trois choses à trouver ap et m j'ai d'abord commencé par m la valeur moyenne visuellement on voit que la droite qui sépare notre fonction en deux parties égales c'est celle ci voilà là la droite d'équations y égalem donc on voit que m est égal à -2 alors par contre là on n'a pas utilisé les données de l'exercice on a fait ça un peu à l'oeil nu mais l'exercice nous dit qu'on a un maximum de 1 pour la fonction ici on est un maximum le maximum et 2 1 et le minimum et de saints et de -5 et la valeur moyenne tu as appris que c'est la moyenne arithmétique entre le minimum et le maximum c'est le minimum plus le maximum divisé par deux et donc c'est égal à - 5 + 1 / 2 donc 4 / 2 donc c'est égal donc moins 4 / 2 pardon - 5 + 1 - 4 / 2 - 2 voilà on a trouvé notre valeur moyenne elle est effectivement égal à -2 comme on l'avait repéré ici maintenant maintenant que la valeur moyenne ça m'aide à trouver l'amplitude parce que l'amplitude c'est quoi c'est la différence entre le maximum et la valeur moyenne ou la différence entre la valeur moyenne et le minimum mais faisons avec le maximum ici un est ma valeur moyenne ici qui est égal à - 2 bat la différence entre un et -2 c3 donc j'ai une amplitude qui il ya là trois l'amplitude c'est le maximum - la valeur moyenne alors maintenant que j'ai tout ça il me reste plus qu'une chose à trouver c'est la période et la période tu as appris que c'est la distance ici entre deux piques par exemple où ça pourrait être entre deux creux donc la gp et on voit qu'on va de moins 6 à 2 donc on a une distance de huit ici pega 8 si on devait utiliser les données de l'exercice pour être plus rigoureux que ça on voit que entre un minimum et le maximum qui suit bah ça il s'agit de la moitié d'une période de la moitié d'une période on voit que la moitié d'une période c'est quand on va de moins 2 à 2 donc la moitié d'une période c4 donc une période complète c'est bien 8 on a trouvé que paix est égal à 8 et voilà on a tout ce qu'il faut maintenant pour exprimer notre fonction f 2 x et j'espère que tu as compris cette méthode systématique que tu peux appliquer à n'importe quel exercice qui ressemble à celui ci dans ce cas fdx on a vu que c'était une fonction plus sinus donc ici on a une fonction plus sinus avec une amplitude de 3 alors +3 sinus de quoi sinus de 2 pi / la période et on a trouvé que c'était 8 2 puis sur 8 x x + 7 valeurs moyennes de m donc m étant égal à -2 on a moins 2 à la fin et voilà l'expression de f2 x et dans cette vidéo tu as appris une méthode que tu peux appliquer systématiquement pour trouver l'expression d'une fonction périodiques et maintenant on bonus je vais t'expliquer aussi le lien entre cette expression de fgx et des transformations de fonction rappelle toi rappelle toi que la fonction si news x elle a donc la fonction de base tout simple à la une période qui égale à deux pays à la période correspond à un tour complet autour du sac de trigonométriques donc on a une période de deux pays on a une amplitude qui est égal à 1 et on a une valeur moyenne de 0 ici je les frères plus proprement m est égal à zéro pour cette fonction sinus alors comment est-ce qu'on passe de la fonction si muzzix à f2 x aidant on va opérer une série de trois transformations 1 là je fais le lien avec les transformations de fonction alors ce qu'on va faire déjà c'est un rétrécissement horizontale par deux qui donc on va multiplier par deux pieds à l'intérieur de la fonction sinus et comme ça j'obtiens une période de un et ensuite je divise par huit et comme ça je tiens une période de huit parce que là je fais une élongation horizontale par un facteur 8 en divisant par 8 à l'intérieur de la fonction donc quand je fais fois deux pieds sur huit en fait ça correspond à rétrécir horizontalement la fonction d'un facteur 2 qui est de l'allonger d'un facteur huit autres opérations que je vais faire je ne veux pas une amplitude de 1 mais une amplitude de 3 donc qu'est ce que je fais je fais une élongation verticale d'un facteur 3 donc je multiplie ma fonction par trois toute cette fonction signe de la multiplie par 3 et c'est comme ça que j'obtiens une amplitude de 3 au lieu de 1 pour la fonction de base si du 6éme reste une chose à faire c'est de faire une translation verticale de deux unités vers le bas pour obtenir une valeur moyenne de - 2 au lieu de zéro et ça c'est juste en soustrayant toute la fonction par deux et voilà j'espère que tu as compris maintenant la méthode systématique pour trouver l'expression d'une fonction périodique à partir de sons de sa représentation graphique et tué et que tu as compris également le lien entre cette expression de f2 x et les trois transformations qu'on opère sur 6 music ce pour obtenir une telle fonction