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La courbe représentative de la fonction tangente

Représentation graphique de la fonction tangente définie au moyen du cercle trigonométrique. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va essayer de se faire une idée de la lure de la courbe représentatives de la fonction tangente on va pas la trace et point par point mais on va essayer d'en trouver la lure général donc la fonction je vais la définir comme ça la fonction tangente je note la variable teta c'est un angle donc cf cet état qui est égal à tangente et a donc ça si tu te rappelles la définition de la fonction tangente c'est sinus teta sur caussinus d'état alors puisqu'on veut tracer la lure général de la courbe je vais prendre un tableau de valeur je vais faire un tableau de valeur donc ici on va prendre quelques valeurs d'angle d'état et ici on va calculer à chaque fois la tangente alors effectivement tu peux toujours utiliser cette définition là est de servir des valeurs remarquables qu'on connaît des sinus et caussinus d'angle données mais dès qu'on parle de fonctions trigonométriques c'est très utile de passer par le cercle trigonométriques donc je vais faire un petit croquis voilà avec mes axes et puis je vais essayer de tracer un cercle plus joliment possible voilà pas très jeu mais ça trigonométriques de rayon 1 voilà donc comment est ce qu'on fait pour repérer le sinus le cosinus et la tangente d'un angle dans ce cercle trigonométriques et bien on va représenter les angles en partant de ce segment là ça va être une branche de nos angles et puis la deuxième branche on va la mettre voilà ici par exemple et donc on a ici un point du cercle et ça c'est l'angle teta et ce qui est intéressant c'est que l'abscisse de ce point là et bien c'est le cosinus de l'angle teta et l'ordonné de ce point c'est le sinus de l'anglais et a donc ce point là il a pour coordonner caussinus teta sinus teta alors là on a les fonctions caussinus ses sinus est ce qu'on peut remarquer c'est que la tangente c'est le rapport entre l'ordonnait et l'abscisse de cet angle et en fait c'est la pente de cette droite là la pente de cette droite là donc ce qu'on va faire c'est se servir de ça on va prendre quelques valeurs et on va regarder la pente de la droite qui correspond je vais effacer ça et je vais prendre des quelques valeurs alors on va prendre par exemple la valeur zéro et à égal zéro donc ici ce qu'on a c'est cet angle plein en angle plat donc la tangente deux langues le thêta eh bien c'est la pente de cette droite là qui est l'axé des abscisses c'est une droite horizontale donc sa pente nuls ce qui veut dire que tangente 2 0 est égal à zéro évidemment tu pouvais on retrouve exactement le même résultat en utilisant cette formule sinus de 0 c zéro caussinus 2 0 c'est un donc tangente de 0 c zéro sur un c'est-à-dire 0 donc on retrouve exactement ce même résultat alors maintenant je vais faire un peu plus compliqué je vais effacer cette partie là et c'est de calculer la valeur de tangente deux pistes sur quatre alors tangente pis sur 4 pi sur quatre c'est 45 degrés donc en fait il faut que je trace la bissectrice de ce premier cadran 45 degrés j'arrive ici donc ça c'est un angle de pi sur quatre est du coup ce qu'on sait c'est que puisque c'est la bissectrice de ce premier cadran et bien en fait cette droite là c'est la droite d'équations y égale x la bissectrice de ce premier cadran donc la pente de cette droite là eh bien c'est un ce qui veut dire que tangente de pi sur quatre est égal à 1 voilà alors bien sûr encore une fois on pouvait retrouver ce résultat en passant par les sinus et caussinus depuis sur quatre sinus de pi sur quatre ses racines de 2 sur 2 caussinus depuis sur quatre ses racines de 2 sur 2 aussi donc la tangente depuis sur quatre est bien c'est un on retrouve exactement ce résultat là donc ça veut dire que la courbe de la fonction tangente elle passe déjà par ces deux points d'une part le point de coordonnées 0 0 qui est l'origine du repère et puis le point de coordonner pis sur 4 1 qui est ici voilà alors je vais effet c'est ça et puis on va prendre une autre valeur va prendre par exemple la valeur - pis sur quatre on va essayer de calculer tangente de moins pis sur quatre donc moins pis sur quatre c'est cet angle là c'est moins 45 degrés donc ça c'est moins pire sur quatre est donc en fait cette droite là cette droite là c'est la bissectrice de ce cadran ici donc c'est la droite d'équations y égales - x donc sa pente c'est moins un ce qui veut dire que tangente deux mois puis sur quatre est égal à -1 et là encore tu pouvais retrouver ce résultat ici en utilisant cette formule et en tout cas notre courbe elle passe par ce point-là de coordonner - qui sur 4 - 1 alors tu vois que ici on a placé seulement trois points et on dirait presque qu'ils sont alignés en fait c'est pas du tout ce qui va se passer ce qui est important c'est que caussinus de pi sur deux est égal à zéro donc en fait pour des tags égale appuyé sur deux la fonction tangente n'est pas défini alors justement on va regarder un peu ce qui se passe comme tout à l'heure j'ai face ça et je vais prendre un angle qui s'approche de pi sur deux donc un angle très proches depuis sur deux voilà celui ci cet angle teta et tu peux même l'imaginer se rapprochant le plus en plus de piste sur deux est ce qui se passe c'est qu'en fait cette droite là la droite que je vais prolonger ici et bien quand tu es tu as approche de pi sur deux cette droite s'approche d'une droite verticale en fait elle s'approche de lax désordonnée et donc sa pente devient infinie et comme la droite monte on a une fonction croissante et bien en fait la tangente de teta quand état s'approche de pi sur deux eh bien elle tempère plus l'infini en fait ici on va avoir une asymptote alors je vais la trace est ici on va avoir une asymptote des affaires en bleu plutôt une asymptote d'équations x égal puis sur deux c'est cette droite que je trace ici en pointillés d'équations égal pis sur deux ça c'est une asymptote en plus l'infini et donc ce qu'on a dit c'est que tangente de teta quand x approche de pi sur deux par ici et bien la tangente s'approche de cette droite là ce qui veut dire que notre courbe passe par ce point là par ce deuxième point par ce troisième point et ensuite elle monte elles montrent de plus en plus pour se confondre pratiquement avec son asymptote enfin se rapprocher de plus en plus de son à 70 sans jamais la toucher alors maintenant on va regarder ce qui se passe en moins pis sur deux puisque la fonction tangente n'est pas défini en moins puis sur deux donc on va avoir probablement une asymptote aussi ici en moins pis sur deux ce qui se passe voilà ça c'est la droite d'équations x égales - pis sur deux est donc pour voir ce qui se passe ce qu'on peut faire c'est prendre un angle qui s'approche de plus en plus de moins puis sur deux donc cet angle là et donc tu vois si on a une droite qui descend donc sa pente est négative et en fait plus l'angle s'approche de la valeur de moins puis sur deux par ici plus cette droite là va se confondre avec l'axé des ordonnées aussi mais cette fois ci avec une pente négative ce qui veut dire que quand on s'approche je vais me reprendre par ici quand on s'approche d'eux - pis sur deux comme ça notre courbe elle descend de plus en plus et elle va s'approcher de son à 70 de plus en plus voilà bon maintenant on va essayer de voir ce qui se passe dans ces autres parties du plan alors je vais regarder déjà ici hein on va prendre on va essayer de calculer la tangente de 3 pi sur quatre alors trois pistes sur quatre c'est lors gepi sur 4 2 puis sur 4 3 puis sur quatre c'est ce point là ça c'est l'angle trois pistes sur quatre kiko reste à ce point ici du cercle trigonométriques donc en fait à cette droite là et cette droite là eh bien c'est la bissectrice de ce cadran ou de ce cadran comme tu préfère donc comme tout à l'heure en fait c'est la droite d'équations y égales - x et cette droite est là pour pente -1 donc la tangente de trois pistes sur quatre est bien c'est moins 1 donc la courbe il passe par le point de coordonner 3 pi sur 4 - 1 qui est celui ci et puis on va maintenant regarder ce qui se passe pour teta égale pis don et à égal pisser cet angle là tout cet angle là donc cette fois ci la droite qui nous intéresse c'est l'axé des abscisses kapoor pente 0 donc tangente de pi c'est égal à zéro donc là notre courbe elle passe par ce point là aussi et puis on a calculé la tangente de 5 pi sur quatre 5 puis sur quatre c4 puis sur 4 + puis sur 4 donc cpie plus puis sur 4 donc c'est ici voilà donc ça c'est l'angle un angle de 5 pi sur quatre en fait cet angle là est un angle de 45 degrés donc cette fois ci notre droite ici cette droite là eh bien c'est la bissectrice de ce cadran ou de ce cadran comme tu préfères en tout cas c'est la droite d'équations y égale x et du coup tangente de 5 pi sur quatre est égal à 1 alors je peux dire maintenant que ma courbe va passer ici par ce point-là de coordonnées 5 pi sur 4 1 et maintenant on va faire la même étude que tout à l'heure pour les asymptote probablement comme la fonction tangente n'est pas définir en 3 pi sur deux je vais avoir une asymptote ici aussi en pis sur deux d'équations segal 3 pi sur deux alors on va regarder comment se comporte la courbe quand les valeurs s'approche de ses valeurs pis sur 2 et 3 puis sur deux donc je vais effacer ça et je vais prendre déjà un angle qui est un petit peu supérieure appuyé sur deux donc un angle un petit peu supérieure appuyé sur deux le voilà ça c'est un angle d'attaqué un tout petit peu supérieur à spie sur deux donc tu vois qu'on a cette droite là en fait qui est donc une fonction représente une fonction décroissante donc sa pente est négative ça c'est important et si tu imagines ce point là se déplaçait pour arriver à vers celui ci donc se déplacer comme ça c'est à dire qu'on fait tendre cet angle-là api sur 2 mai par valeurs un peu supérieurs api sur deux bien tu vois que cette droite là va se confondre avec l'axé des ordonnées donc sa pente est infinie mais elle est négative donc finalement en tête-à verte envers pis sur deux on a eu nos symptômes ici la courbe est très très proche dans son enceinte toth ensuite elles passent par ce point là puis par ce point là puis par ce point là et pour regarder ce qui se passe ici on va faire la même étude que tout à l'heure et je vais prendre une valeur un angle un tout petit peu plus petit que trois pistes sur deux donc 3 puis sur deux c'est ici donc je vais prendre un angle voilà ça c'est un angle un tout petit peu plus petit que trois pistes sur deux et tu vois que comme tout à l'heure ici si je m'approche si je fais tendre cet angle d'état à la valeur 3 puis sur deux est bien la droite que j'ai ici cette droite là elle a une pente positive de toute façon mais plus je m'approche de thé tape plus cette pente devient infinie infinie positif ce qui veut dire que effectivement la courbe là va se rapprocher de la sainteté de cette manière là voilà on va s'arrêter là mais tu peux facilement poursuivre cette étude pour par exemple remplir cette partie là ici on va avoir une asymptote en moins trois puits sur deux ici symptôme d'équations x égale mois 3 pi sur deux la courbe va passer par ce point là par ce point là et par ce point là et en fait elle va partant de son à 70 sont éloignés petit à petit passer par ces deux points ce troisième point et puis remonter vers la 70 comme ça en fait les trois portions que j'ai dessiné doivent être exactement les mêmes ce qui est pas tout à fait le cas sur mon dessin mais l'idée est celle là à bientôt