Un exemple d'application de la méthode des trapèzes et deux exercices qui vous permettront de vérifier si vous avez bien compris.
Nous savons à présent que nous pouvons approcher l'aire sous la courbe représentative d'une fonction sur un intervalle donné par la somme des aires de rectangles (somme de Riemann ou méthode des rectangles). Dans la méthode des rectangles, on remplace f par la valeur qu'elle prend sur une borne de l'intervalle (borne inférieure ou extrémité gauche, borne supérieure ou extrémité droite). Comme on ne voit pas de raison de privilégier l'une des bornes, il est peut-être judicieux d'approximer f par la moyenne des valeurs qu'elle prend aux deux extrémités de l'intervalle. La moyenne des aires des rectangles est aussi l'aire du trapèze délimité par une fonction affine qui prend les mêmes valeurs que f aux extrémités. C'est la méthode des trapèzes.
Idée-clé : En approchant l'aire du domaine par la somme des aires des trapèzes ('' méthode des trapèzes ''), nous obtenons une approximation plus précise de cette aire qu'en approchant l'aire du domaine par la somme des aires des rectangles ('' méthode des rectangles '').

Exemple de la méthode des trapèzes

Nous allons approximer l'aire sous la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [2;8][2; 8] en construisant trois trapèzes.
Soit le domaine compris délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x, equals, 2 et x, equals, 8. On découpe l'intervalle [2;8][2\,;8] en trois intervalles de même amplitude et sur chacun on construit des trapèzes. Nous appelons le premier trapèze T, start subscript, 1, end subscript, le deuxième T, start subscript, 2, end subscript, et le troisième T, start subscript, 3, end subscript.
On rappelle que l'aire d'un trapèze est égale à la moitié du produit de la somme des longueurs de sa grande base et de sa petite base par sa hauteur : , où h est sa hauteur et b, start subscript, 1, end subscript et b, start subscript, 2, end subscript sont ses bases.

Trouver l'aire T, start subscript, 1, end subscript du premier trapèze

Le trapèze est "posé " sur sa hauteur.
Le trapèze est construit sur l'intervalle [2;4][\greenD 2\,; \maroonD 4]. Sa hauteur h a pour mesure l'amplitude de cet intervalle : 2.
La première base b, start subscript, 1, end subscript a pour longueur l'image de start color greenD, 2, end color greenD par la fonction , soit f, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, start color greenD, 2, end color greenD, right parenthesis.
La deuxième base b, start subscript, 2, end subscript a pour longueur l'image de start color maroonD, 4, end color maroonD par la fonction , soit f, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 3, natural log, left parenthesis, start color maroonD, 4, end color maroonD, right parenthesis.
On obtient :
L'aire T, start subscript, 1, end subscript du premier trapèze est donc égale à :
T, start subscript, 1, end subscript, equals, h, left parenthesis, start fraction, b, start subscript, 1, end subscript, plus, b, start subscript, 2, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
On réduit :

Trouver l'aire T, start subscript, 2, end subscript du deuxième trapèze

On cherche les mesures de la hauteur et des deux bases :
h, equals, 2
b, start subscript, 1, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 4, right parenthesis
b, start subscript, 2, end subscript, equals, 3, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis
On remplace et on simplifie :

Trouver l'aire T, start subscript, 3, end subscript du troisième trapèze

T, start subscript, 3, end subscript, equals
Réponse :
Réponse :

T, start subscript, 3, end subscript, equals, 3, left parenthesis, natural log, left parenthesis, 6, right parenthesis, plus, natural log, left parenthesis, 8, right parenthesis, right parenthesis

Donner une approximation de l'aire totale

Nous approchons l'aire totale par la somme des aires de chacun des trois trapèzes :
A, i, r, e, space, t, o, t, a, l, e, equals, T, start subscript, 1, end subscript, plus, T, start subscript, 2, end subscript, plus, T, start subscript, 3, end subscript
On obtient après simplification :
Faites une pause ici en reprenant le calcul afin de vous assurer que vous avez bien compris comment on obtient ce résultat.

Exercice d'application

L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction , l'axe des abscisses et les droites d'équation x, equals, 2 et x, equals, 8 est approximée par la somme de l'aire de trois trapèzes dont l'expression est :
Réponse :
Réponse :

L'aire du trapèze est
space, A, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, B, start subscript, 1, end subscript, plus, B, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, times, h
space, B, start subscript, 1, end subscript, space et space, B, start subscript, 2, end subscript, space sont les longueurs des bases et space, h, space celle de la hauteur.
T, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 2, natural log, 2, plus, 2, natural log, 3, comma, 5, right parenthesis, times, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, natural log, 2, plus, natural log, 3, comma, 5, right parenthesis
T, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 2, natural log, 3, comma, 5, plus, 2, natural log, 5, right parenthesis, times, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, natural log, 3, comma, 5, plus, natural log, 5, right parenthesis
T, start subscript, 3, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 2, natural log, 5, plus, 2, natural log, 6, comma, 5, right parenthesis, times, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, natural log, 5, plus, 3, natural log, 6, comma, 5, right parenthesis
T, start subscript, 4, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 2, natural log, 6, comma, 5, plus, 2, natural log, 8, right parenthesis, times, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, natural log, 6, comma, 5, plus, natural log, 8, right parenthesis
On fait leur somme :
start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, natural log, 2, space, plus, space, 3, natural log, 3, comma, 5, space, plus, space, 3, natural log, 5, space, plus, space, 3, natural log, 6, comma, 5, space, plus, space, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, natural log, 8, space
On réduit :
start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, natural log, 2, plus, 2, natural log, 3, comma, 5, plus, 2, natural log, 5, plus, 2, natural log, 6, comma, 5, plus, natural log, 8, right parenthesis, space

Un dernier exercice

L'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x, equals, 2, minus, 1 et x, equals, 5 est approximée par la somme de l'aire de trois trapèzes dont l'expression est :
Réponse :
Réponse :

L'aire du trapèze est
space, A, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, B, start subscript, 1, end subscript, plus, B, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, times, h
space, B, start subscript, 1, end subscript, space et space, B, start subscript, 2, end subscript, space sont les longueurs de ses bases et space, h, space celle de sa hauteur.
T, start subscript, 1, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis, times, 2, equals, f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 1, right parenthesis
T, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, times, 2, equals, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 3, right parenthesis
T, start subscript, 3, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, times, 2, equals, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis
On fait leur somme :
f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, 2, times, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, plus, 2, times, f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, space