Gain some risk-free experience with applying the washer method in this worksheet, before you attempt our exercise.

Exercice 1

Soit la surface plane comprise entre la droite d'équation y, equals, 2, x et la courbe d'équation y, equals, x, start superscript, 2, end superscript.
Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de l'axe des abscisses est égal à ...
Réponse :
Réponse :

Représentation du domaine

On commence par représenter la surface. On détermine ensuite les points d'intersection entre la courbe et la droite.
x2=2xx22x=0x(x2)=0x=0 ou x=2\begin{aligned}x^2&=2x\\ x^2-2x&=0\\ x(x-2)&=0\\ x=0\text{ ou } x&=2 \end{aligned}
Les points d'intersection ont pour coordonnées respectives (0;0)(0\,;0) et (2;4)(2\,;4).

Visualisation du solide engendré

La rotation de la surface plane autour de l'axe des abscisses engendre un un disque troué. Pour calculer le volume de ce solide, on utilise alors la méthode des anneaux (ou disques troués).
On a représenté un anneau type, une section transversale du solide perpendiculaire à l'axe de rotation.

Expression du volume d'un anneau

Le volume d'un anneau est égal au produit de l'aire de la base par la hauteur d, x.
L'aire de l'anneau est égale à la différence des aires de deux disques. Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus éloignée de l’axe de rotation : 2, x et le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus rapprochée de l’axe de rotation x, start superscript, 2, end superscript. On obtient donc :
A(x)=π(2x)2π(x2)2=π((2x)2(x2)2)=π(4x2x4)\begin{aligned}A(x)&=\pi(2x)^2-\pi(x^2)^2\\ \\ &=\pi\left((2x)^2-(x^2)^2\right)\\ \\ &=\pi(4x^2-x^4) \end{aligned}
Le volume d'un anneau est v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, pi, left parenthesis, 4, x, start superscript, 2, end superscript, minus, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis, space, d, x.

Calcul du volume du solide

On partage l'intervalle [0;2][0\,;2] en n intervalles de largeur dans le but de découper le solide en n anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre n vers l'infini, on obtient : V, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 2, end superscript, pi, left parenthesis, 4, x, start superscript, 2, end superscript, minus, x, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis, space, d, x.

Calcul de l’intégrale

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.
V(x)=02π(4x2x4)dx=π02(4x2x4)dx=π[4x33x55]02=π(323325)=64π15\begin{aligned}V(x)&=\displaystyle \int^2_0 \pi(4x^2-x^4)\, dx\\\\ &=\displaystyle \pi \int^2_0 (4x^2-x^4)\, dx\\\\ &=\pi\left[\dfrac{4x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right]^2_0\\\\ &=\pi\left(\dfrac{32}{3}-\dfrac{32}{5}\right)\\\\ &=\dfrac{64 \pi}{15}\end{aligned}

La réponse

Le volume de ce solide est égal à start fraction, 64, pi, divided by, 15, end fraction unités de volume.

Exercice 2

Soit la surface plane comprise entre les courbes d'équation y, equals, x, start superscript, 2, end superscript et y, equals, square root of, x, end square root.
Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de la droite d'équation y, equals, minus, 1 est égal à ...
Réponse :
Réponse :

Représentation du domaine

On commence par représenter la surface. On détermine ensuite les points d'intersection entre les deux courbes.

Visualisation du solide engendré

Dans cet exercice, l'axe des abscisses n'est pas l'axe de rotation, mais c'est une droite qui lui est parallèle, la droite d'équation y, equals, minus, 1.
On a représenté un anneau type, une section transversale du solide perpendiculaire à l'axe de rotation.

Expression du volume d'un anneau

Le rayon extérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus éloignée de l’axe de rotation y, equals, minus, 1 : . Le rayon intérieur est donné par la fonction décrivant la frontière de la surface génératrice la plus rapprochée de l’axe de rotation : x, start superscript, 2, end superscript, minus, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, x, start superscript, 2, end superscript, plus, 1.
A(x)=π(x+1)2π(x2+1)2=π((x+1)2(x2+1)2)=π(x+2x+1(x4+2x2+1))=π(x+2xx42x2)\begin{aligned}A(x)&=\pi(\sqrt{x}+1)^2-\pi(x^2+1)^2\\ \\ &=\pi\left((\sqrt{x}+1)^2-(x^2+1)^2\right)\\ \\ &=\pi(x+2\sqrt x+1-(x^4+2x^2+1))\\ \\ &=\pi(x+2\sqrt{x}-x^4 -2x^2)\end{aligned}
Le volume de l'anneau d'aire de base A, left parenthesis, x, right parenthesis et de hauteur d, x est égal à : v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, pi, left parenthesis, x, plus, 2, square root of, x, end square root, minus, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 2, x, start superscript, 2, end superscript, right parenthesis, space, d, x.

Calcul du volume du solide

On partage l'intervalle [0;1][0\,;1] en n intervalles de largeur dans le but de découper le solide en n anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre n vers l'infini, on obtient : V, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, pi, left parenthesis, x, plus, 2, square root of, x, end square root, minus, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 2, x, start superscript, 2, end superscript, right parenthesis, space, d, x.

Calcul de l’intégrale

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.

La réponse

Le volume de ce solide est égal à start fraction, 29, pi, divided by, 30, end fraction unités de volume.

Exercice 3

Soit la surface plane délimitée par la droite d'équation y, equals, x et par la courbe d'équation y, equals, square root of, x, end square root.
Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de l'axe des abscisses est égal à ...
Réponse :
Réponse :

Représentation du domaine

On représente tout d'abord le domaine.

Visualisation du solide engendré

Dans cet exercice, l'axe de rotation n'est pas left parenthesis, O, x, right parenthesis mais l'axe des ordonnées.
On obtient des anneaux parallèles à l'axe des abscisses :

Expression du volume d'un anneau

Ici, les anneaux sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc d, y. On doit alors exprimer les rayons en fonction de y.
Le rayon extérieur est y et le rayon intérieur est y, start superscript, 2, end superscript.
L'aire de l'anneau est égale à la différence des aires de deux disques.
A(y)=π(y)2π(y2)2=π((y)2(y2)2)=π(y2y4)\begin{aligned}A(y)&=\pi(y)^2-\pi(y^2)^2\\ \\ &=\pi\left((y)^2-(y^2)^2\right)\\ \\ &=\pi(y^2-y^4)\end{aligned}
Le volume de l'anneau d'aire de base A, left parenthesis, y, right parenthesis et de hauteur d, y est égal à : v, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, pi, left parenthesis, y, start superscript, 2, end superscript, minus, y, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis, space, d, y.

Calcul du volume du solide

On partage l'intervalle [0;1][0\,;1] en n intervalles de largeur dans le but de découper le solide en n anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre n vers l'infini, on obtient : V, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, pi, left parenthesis, y, start superscript, 2, end superscript, minus, y, start superscript, 4, end superscript, right parenthesis, space, d, y.

Calcul de l’intégrale

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.
V(y)=01π(y2y4)dy=π01(y2y4)dy=π[13y315y5]01=π(1315)=2π15\begin{aligned}V(y)&=\displaystyle \int^1_0 \pi(y^2-y^4)\, dy\\\\ &=\displaystyle \pi \int^1_0 (y^2-y^4)\, dy\\\\ &=\pi\left[\dfrac13{y^3}-\dfrac15y^5\right]^1_0\\\\ &=\pi\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\right)\\\\ &=\dfrac{2 \pi}{15}\end{aligned}

La réponse

Le volume de ce solide est égal à start fraction, 2, pi, divided by, 15, end fraction unités de volume.

Exercice 4

Soit la surface plane comprise entre la courbe d'équation y, start superscript, 2, end superscript, equals, 4, x et la droite d'équation y, equals, x.
Le volume du solide engendré par la rotation de cette surface autour de la droite d'équation x, equals, 4 est égal à ...
Réponse :
Réponse :

Représentation du domaine

On représente tout d'abord le domaine.

Visualisation du solide engendré

Dans cet exercice, l'axe des ordonnées n'est pas l'axe de rotation, mais c'est une droite qui lui est parallèle, la droite d'équation x, equals, 4.
On a représenté le domaine et une coupe transversale du solide.
Ici, les anneaux sont parallèles à l'axe des abscisses. Leur hauteur est donc d, y. On doit alors exprimer les rayons en fonction de y.

Expression du volume d'un anneau

Le rayon extérieur est 4, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, y, start superscript, 2, end superscript et le rayon intérieur est 4, minus, y.
L'aire de l'anneau est égale à la différence des aires de deux disques.
A(y)=π(414y2)2π(4y)2=π((414y2)2(4y)2)=π(162y2+116y4(168y+y2))=π(162y2+116y416+8yy2)=π(116y43y2+8y)\begin{aligned}A(y)&=\pi\left(4-\dfrac14y^2\right)^2-\pi(4-y)^2\\ \\ &=\pi\left((4-\dfrac14y^2)^2-(4-y)^2\right)\\ \\ &=\pi\left(16-2y^2+\dfrac1{16}y^4-(16-8y+y^2)\right)\\ \\ &=\pi\left(16-2y^2+\dfrac1{16}y^4-16+8y-y^2\right)\\ \\ &=\pi\left(\dfrac1{16}y^4-3y^2+8y\right)\end{aligned}
Le volume de l'anneau d'aire de base A, left parenthesis, y, right parenthesis et de hauteur d, y est égal à : v, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, pi, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 16, end fraction, y, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, y, start superscript, 2, end superscript, plus, 8, y, right parenthesis, space, d, y.

Calcul du volume du solide

On partage l'intervalle [0;4][0\,;4] en n intervalles de largeur dans le but de découper le solide en n anneaux. Le volume du solide est à peu près égal à la somme des volumes des anneaux. En faisant tendre n vers l'infini, on obtient : V, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, pi, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 16, end fraction, y, start superscript, 4, end superscript, minus, 3, y, start superscript, 2, end superscript, plus, 8, y, right parenthesis, space, d, y.

Calcul de l’intégrale

On calcule l'intégrale pour trouver le volume du solide.
V(y)=04π(116y43y2+8y)dy=π04(116y43y2+8y)dy=π[180y5y3+4y2]04=π(64564+64)=64π5\begin{aligned}V(y)&=\displaystyle \int^4_0 \pi\left(\dfrac1{16}y^4-3y^2+8y\right)\, dy\\\\ &=\displaystyle \pi \int^4_0 \left(\dfrac1{16}y^4-3y^2+8y\right)\, dy\\\\ &=\pi\left[\dfrac1{80}{y^5}-y^3+4y^2\right]^4_0\\\\ &=\pi\left(\dfrac{64}{5}-64+64\right)\\\\ &=\dfrac{64 \pi}{5}\end{aligned}

La réponse

Le volume de ce solide est égal à start fraction, 64, pi, divided by, 5, end fraction unités de volume.