La dérivabilité implique la continuité - démonstration

bonjour alors dans cette vidéo je voudrais qu'on démontre quelque chose d'assez important qui est que la dérive habilité d'une fonction en prenne sa continuité c'est à dire que si une fonction et dérives abl alors elle est forcément continue donc ça c'est quelque chose d'assez important et pour commencer deux on va se rappeler déjà un petit peu ce que signifie tous ces maux donc je vais commencer par la dérive habilité dérive habilité je vais faire un petit croquis pour fixer les idées donc je vais dessiner un repère voilà avec mes deux axes donc ici c'est l'axé des x la kz2 y l'origine oh et puis je vais tracé la courbe représentatif d'une fonction voilà par exemple comme ça et je vais prendre un point de cette fonction disons ici par exemple donc son abscisse on va dire que c'est c'est eh sont ordonnés et bien cf de c1 donc oui ici c'est la courbe d'équations y égale f 2 x donc elle fait une fonction et puis je vais prendre maintenant sur cette courbe un deuxième point ils ont celui ci qui a pour abc ce x et pour leur donner donc f 2 x voilà alors tu te rappelles que ce qu'on a fait pour aborder la notion de dérive habilité c'est que on est partis d'abord delà de la corde qui passe par ces deux points là donc de cette droite là effectivement la pente de 7 cordes et bien on peut l'exprimer c'est le rapport entre la variation des abscisses et la variations désordonnées donc on peut l'exprimer cf 2 x - alors je vais le faire comme ça fdx - f2 c sur x - c voilà ce qu'on avait dit c'est que en fait pour définir le nombre dérivés de f au point d'abc c'est ici donc en x égal c'est mais en fait ça revenait à calculer la pente de la tangente à la courbe d'équations y est ghallef 2x au point d'absys c est pour ça ce qu'on avait fait c'était une limite on avait fait tendre ici x ac c'est à dire que quand x se rapproche de ses ici sur l'axé des abscisses ce point là se rapproche de ce point ci est du coup la corde se rapproche de la tangente donc on avait défini le nombre dérivés au point d'absys c'est comme la pente de la tangente en fait et on l'avait obtenue en calculant la limite quand x temps versé de cette expression là c'est effectivement cette limite là n'existe pas forcément est en fait notre fonction et dérives abl au point d'apsys c'est ici au point x égal c'est si cette limite là existent et dans ce cas là si elle existe on avait dit que on l'a noté comme ça f prime de c f prime de c est donc c'est ça nous donnait une définition du nombre dérivé de la fonction f au point d'abc 6 égal c'est donc voilà la condition pour qu'une fonction soit dérive à bhl en un point ça je peux le réécrire ici il faut que cette limite l'as existe et soit bien défini ensuite on va se rappeler de ce que ça veut dire qu'une fonction et continue on a un point c'est donc ce que ça veut dire que la continuité en un point c x égal c'est eh bien ça elle doit on avait défini enfin en tout cas on peut le définir comme ça toujours en terme de limites en disant que la limite quand x temps versé de f 2 x est égal à f2 c alors pour bien comprendre ça on va faire quelques croquis donc ici je refais mes axes voilà donc y x et l'origine ici et puis là je vais présenter un va imagine un premier cas de discontinuité donc de fonction qui n'est pas continue on n'a point c'est alors le point c'est je vais le mettre ici et donc là je vais tracé la courbe représentatif d'une fonction comme ça voilà mais ce qui se passe c'est que en fait qu'en terme arrive au point d'abc 6 égale c est bien ici elle est pas défini comme ça elle est disons que la valeur f2 c est ici donc ça je vais l'écrire comme ça voilà f2 c ici suit en fait la courbe reprend sa course normalement voilà elle fait quelque chose comme ça disons alors ici on est dans un cas de discontinuité puisque effectivement quand la variable x temps percée eh bien on s'approche disons qu'on s'approche paris 6 1 si on regarde quand x temps versé par valeurs négatives on s'approche par ce côté là de cette valeur si cette valeur si qui n'est pas égal à f2 c'est donc effectivement ici ce qu'on aura c'est que la limite de f2 x quand x temps versé alors j'ai dit par valeur négative mais on va voir que ça se passe exactement la même manière pas valeurs positives et bien ça c'est différent 2f 2c puisque f2 c est ici alors que nous on s'approche de cette valeur là est en fait si tu regarde ce qui se passe quand x temps versé par valeurs positives donc verser plus on va dire eh bien c'est exactement la même chose donc là on comprend que dans quand on a un cas de discontinuité comme ça qu'un cas de discontinuité simple effectivement cette les cette définition là n'est pas vérifiée donc c'est une bonne illustration de cette définition là alors je vais prendre un deuxième cas maintenant où on a ce qu'on appelle un saut en discontinuité donc je vais reprendre aussi un repère voilà y l'origine et x et puis ici on va dire que ce qui se passe c'est qu'on a une courbe qui est comme ceux ci qui arrive à la valeur ici ces voix là et ensuite à partir de cette valeur là donc x égal c'est en fait la courbe repart par ici elle fait quelque chose comme ça voilà donc il ya vraiment ce qu'on appelle un sode discontinuité et ici donc quand on fait tendre la variable x assez par valeurs négatives donc on s'approche par ici du point d'apsys x égal c'est et on arrive donc à cette valeur là ici donc l'appeler a par exemple donc la limite quand x temps versé par valeur négative de f2 x et bien ca et par contre quand on s'approche de ses parts valeurs positives la limite quand x temps versé par valeurs positives et bien finalement c'est cette valeur là que je vais appeler b1 donc la limite quand excitant verte c'est plus de f2 xcb est ici à est différent de b donc tu vois que dans ce cas là en fait on peut même pas parler de la limite de la fonction f quand x temps verser puisque les différentes selon compte en verser par la valeur positive ou par valeurs négatives voilà alors on va quand même montré le cas d'une fonction continue pour voir que ça colle bien avec notre définition donc dans ce cas là je prends mon repère dax x y et d'originaux et là je vais tracer une fonction continue donc qui est peut-être comme ça voilà y égaler f 2 x et je place le point d'abc c'est ici et f2 s'est passé ici voilà donc ça cf 2 c est une voix que ici si tu prends sur la courbe n'importe quel point donc d'abc 6 et d'ordonner f 2 x est bien ici quand tu fais tendre la variable x assez par valeurs positives ou négatives effectivement tu obtiens bien que la limite quand x temps verser 2 f et bien cf 2 c voilà donc tu vois que ça colle bien notre définition de la continuité alors maintenant on va essayer de démontrer que s'il fonctionne dérive à blanc s'est alors elle est aussi continuant c'est donc on va démontrer que la dérive habilité hans et implique la continuité ans et alors je vais préparer un peu mon mon écran et si on va commencer par supposer que la fonction et dérives abl ans et on suppose que f et dérives abl pensez donc ça d'après ce qu'on a dit ça veut dire que cette limite là du taux de variation de la fonction au point c'est elle existe elle est définie elle elle est égale à f prime de c'est donc on sait que la limite quand x temps verser de ce taux de variation f 2 x - f2 c sur x - c est bien ça existe et c'est égal à f prime de ces aux nombreux dérivés de la fonction f au point c'est alors maintenant on va essayer de démontrer que la limite de f2 x quand x temps vers c'est bien c'est égal à f2 c alors pour ça ce que je vais faire c'est que je vais écrire f 2 x - f2 c différemment en essayant de faire apparaître ce taux de variation donc pour ça en fait ce que je vais faire c'est multiplier en haut et en bas par x - c'est donc je vais écrire ça comme ça f 2 x - f2 ccx - c'est x f 2 x - f2 c le tout divisé par x - c'est donc ça j'ai tout à fait le droit de le faire et du coup quand je vais calculer la limite la limite quand x temps verser de cette expression la f2 x - f2 c voilà de tout ça et bien c'est la limite de tout ça donc c'est la limite quand x d'en verser 2 x - ces facteurs de f2 x - f2 c sur x - c est maintenant ce que je peux appliquer c'est la règle de la limite d'un produit de deux fonctions en fait la limite d'un produit de fonction c'est le produit des limites de ces deux fonctions donc je vais pouvoir écrire ça comme ça c'est la limite quand x temps verser 2 x - c'est x la limite quand x temps versé le taux de variation ici f 2 x - f2 c sur x - c'est alors ça c'est intéressant parce que ici en fait ce qu'on a ça l'acf prime de ces puisqu'on a supposé que la fonction est fêtait dérive à blanc sait on sait que cette limite l'acf prime de c et puis cette limite la limite quand x anvers ces 2 x - c est bien c zéro donc ce qu'on obtient finalement ici c'est que la limite quand x temps verser 2 f 2 x - f2 c f 2 x - f2 c est bien elle est égale à zéro alors là tu vois peut-être qu'on est presque au bout de nos peines puisqu'en fait ici c'est une différence de deux fonctions donc je sais que la limite d'une différence de deux fonctions c'est la différence des limites de ces deux fonctions donc en fait je peux écrire ça comme ça limite quand x temps verser 2 f 2 x - limites quand x temps verser 2f 2c et je sais que ça c'est égal à zéro mais bon f2c c'est un nombre ça dépend pas de x donc la limite de f2 c quand x temps verser bien cf 2 c'est donc ce que j'obtiens finalement c'est que la limite quand x temps verser 2 f 2 x - f2 c c'est égal à zéro et donc on trouve bien que la limite quand x temps verser 2 f 2 x et bien cf de ces voix là et donc on a terminé puisque ça c'est la définition de la continuité de la fonction f au point c est bien ça veut dire que f et continue f et continue ans et donc on a terminé on a démontré que si f était dériva 'blanc' et alors elle est continue en ce point là aussi mais donc si on fait ça sur tous les points dans l'intervalle données et bien on peut démontrer que si f et dérives à bhl sur un intervalle donné alors elle est aussi continue sur cet intervalle