Si le plan est muni d'un repère, comment trouver le couple de nombres qui définit une translation à partir de la donnée d'une figure et de son image par cette translation.
Dans le plan muni d'un repère, une translation est définie par un couple de nombres. Sur ce site, on écrit ces nombres entre deux chevrons. Le premier terme du couple est le nombre qu'il faut ajouter à l'abscisse d'un point pour obtenir l'abscisse de son image ; c'est le nombre qui décrit le déplacement des points parallèlement à l'axe des x. Le deuxième terme du couple est le nombre qu'il faut ajouter à l'ordonnée d'un point pour obtenir l'ordonnée de son image ; c'est le nombre qui décrit le déplacement des points parallèlement à l'axe des y.

1 - On donne un point et son image

Un exemple

Quelle est la translation par laquelle le point A, left parenthesis, 3, comma, 7, right parenthesis a comme image le point A, prime, left parenthesis, 6, comma, minus, 2, right parenthesis ?

Réponse

1 - on cherche le nombre qu'il faut ajouter aux abscisses (ou le déplacement parallèlement à l'axe des x). 6, minus, 3, equals, 3 donc par cette translation, pour trouver l'abscisse de l'image d'un point, on ajoute start color tealD, plus, 3, end color tealD à son abscisse.
2 - on cherche le nombre qu'il faut ajouter aux ordonnées (ou le déplacement parallèlement à l'axe des y). minus, 2, minus, 7, equals, minus, 9 donc par cette translation, pour trouver l'ordonnée de l'image d'un point, on ajoute start color maroonD, minus, 9, end color maroonD à son ordonnée.
La translation par laquelle A, prime est l'image de A est la translation open angle, start color tealD, 3, end color tealD, comma, start color maroonD, minus, 9, end color maroonD, close angle.

A vous !

Exercice 1

Quel est le couple de nombres qui définit la translation par laquelle le point B, left parenthesis, 2, comma, 1, right parenthesis a comme image le point B, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 5, right parenthesis, space, question mark
open angle
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
close angle

1 - on cherche le nombre qu'il faut ajouter aux abscisses (ou le déplacement parallèlement à l'axe des x). minus, 4, minus, 2, equals, minus, 6 donc pour trouver l'abscisse de l'image d'un point, on ajoute start color tealD, minus, 6, end color tealD à son abscisse.
2 - on cherche le nombre qu'il faut ajouter aux ordonnées (ou le déplacement parallèlement à l'axe des y). 5, minus, 1, equals, 4 donc pour trouver l'ordonnée de l'image d'un point, on ajoute start color maroonD, plus, 4, end color maroonD à son ordonnée.
Le couple de nombres qui définit la translation par laquelle le point B a comme image le point B, prime est open angle, start color tealD, minus, 6, end color tealD, comma, start color maroonD, 4, end color maroonD, close angle.

Exercice 2

Quel est le couple de nombres qui définit la translation par laquelle le point C, left parenthesis, 7, comma, 5, right parenthesis a comme image le point C, prime, left parenthesis, 5, comma, 5, right parenthesis, space, question mark
open angle
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
close angle

1 - on cherche le nombre qu'il faut ajouter aux abscisses (ou le déplacement parallèlement à l'axe des x). 5, minus, 7, equals, minus, 2 donc pour trouver l'abscisse de l'image d'un point, on ajoute start color tealD, minus, 2, end color tealD à son abscisse.
2 - on cherche le nombre qu'il faut ajouter aux ordonnées (ou le déplacement parallèlement à l'axe des y). 5, minus, 5, equals, start color maroonD, 0, end color maroonD donc un point et son image ont la même ordonnée.
Le couple de nombres qui définit la translation par laquelle le point C a comme image le point C, prime est open angle, start color tealD, minus, 2, end color tealD, comma, start color maroonD, 0, end color maroonD, close angle.

Exercice 3

On sait que P, prime est l'image de P par une certaine translation. Le deuxième terme du couple qui définit la translation, c-à-d le nombre qu'il faut ajouter à l'ordonnée d'un point pour trouver l'ordonnée de son image est :
Réponse :
Réponse :

Soient left parenthesis, x, start subscript, 1, end subscript, comma, y, start subscript, 1, end subscript, right parenthesis les coordonnées de P, left parenthesis, x, start subscript, 2, end subscript, comma, y, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis les coordonnées de P, prime, et open angle, a, comma, b, close angle le couple qui définit la translation par laquelle P, prime est l'image de P.
Pour obtenir l'abscisse de P, prime, on ajoute a à l'abscisse de P. Et pour obtenir l'ordonnée de P, prime, on ajoute b à l'ordonnée de P. Ceci se traduit par les équations :
I, point, space, x, start subscript, 1, end subscript, plus, a, equals, x, start subscript, 2, end subscript
I, I, point, space, y, start subscript, 1, end subscript, plus, b, equals, y, start subscript, 2, end subscript
On déduit de la deuxième équation que b, equals, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, donc le deuxième terme du couple qui définit la translation est la différence entre l'ordonnée de P, prime et l'ordonnée de P.

Un dernier exercice

Soit la translation par laquelle l'image du point D, left parenthesis, minus, 3, comma, 10, right parenthesis est le point D, prime, left parenthesis, minus, 12, comma, 21, right parenthesis.
Quelles sont les coordonnées de l'image du point E, left parenthesis, 17, comma, minus, 9, right parenthesis par cette translation ?
left parenthesis
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
right parenthesis

2 - On donne une figure et son image

Un exemple

Quelle est la translation par laquelle le quadrilatère start color blueD, F, G, H, I, end color blueD a comme image le quadrilatère start color maroonD, F, prime, G, prime, H, prime, I, prime, end color maroonD, space, question mark

Réponse

Cette translation est la translation par laquelle, par exemple, le point F, left parenthesis, minus, 4, comma, 6, right parenthesis a comme image le point F, prime, left parenthesis, 2, comma, 3, right parenthesis. On cherche donc le nombre qu'il faut ajouter à l'abscisse de F pour obtenir l'abscisse de F, prime et celui qu'il faut ajouter à l'ordonnée de F pour obtenir l'ordonnée de F, prime.
Le nombre qu'il faut ajouter à l'abscisse : left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, equals, start color tealD, plus, 6, end color tealD
Le nombre qu'il faut ajouter à l'ordonnée : left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, start color maroonD, minus, 3, end color maroonD
La translation par laquelle le quadrilatère F, prime, G, prime, H, prime, I, prime est l'image du quadrilatère F, G, H, I est la translation open angle, start color tealD, 6, end color tealD, comma, start color maroonD, minus, 3, end color maroonD, close angle.

A vous !

Quel est le couple de nombres qui définit la translation par laquelle le triangle start color blueD, J, K, L, end color blueD a comme image le triangle start color maroonD, J, prime, K, prime, L, prime, end color maroonD, space, question mark
open angle
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, comme 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, p, i ou 2, slash, 3, space, p, i
close angle

Un indice : par cette translation l'image du point K, left parenthesis, 8, comma, minus, 3, right parenthesis est le point K, prime, left parenthesis, 4, comma, 4, right parenthesis.
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