Inégalité triangulaire

alors on va se donner un triangle un triangle dont on connaît deux côtés par exemple je vais dessiner un premier côté ici est celui ci on va dire qu'il à la longueur 6 sa longueur 7 6 et puis je vais dessiner un deuxième côté en rouge voilà et on va dire que celui-ci sa longueur ses 10 alors évidemment c'est un triangle donc il ya un troisième côté et le troisième côté je le dessine voilà en verre et du coup sa longueur je ne sais pas à combien ces mais je vais l'appeler x est ce que je vais faire dans cette vidéo c'est de voir quelle est la plus petite longueur que ce côté vert peut avoir c'est à dire qu'elle est la plus petite valeur que peut prendre le nom breux x ici alors en fait si je veut diminuer la longueur de ce côté anvers en gardant les côtés bleu et rose bleu et rouge pardon delà même de la même longueur il faut qu'en fait je diminue cet angle qui est là l'angle qui est ici je vais essayer de le diminuer alors par exemple je vais redessiné ce triangle avec un angle plus petit ici retracée le côté de longues heures 10 voilà et puis le côté de longueur 6 ul tracé aussi mais je vais le tracé avec un angle beaucoup plus petit voilà par exemple comme ça donc ça j'ai toujours ici une longueur de 6 et puis du coup le côté vers le côté de longueur x il a il est beaucoup plus petit qu'avant le voilà en fait là j'ai un angle qui est beaucoup plus petit que celui d'avant ici entre les côtés de 6,2 mesure si ces deux mesures 10 cet angle là est beaucoup plus petit alors si je continue comme ça et si je rapetisse de plus en plus cet angle là je vais rapetisser aussi de plus en plus le côté de longueur x donc la valeur de x née à la limite en fait si et si je m'approche de plus en plus d'un angle nul je vais m'approcher de plus en plus d'un triangle qu'on appelle dégénérait qui en fait ce sera plus un triangle si si on imagine l'angle ici cet angle vers nulle et en fait le côté de longueur 6 6 sera superposé enfin il sera sur le côté de longues heures 10 donc ça sera plus une figure en deux dimensions on va perdre une dimension c'est pour ça qu'on dit c'est un triangle dégénéré parce que finalement c'est un ça sera un segment un segment de droite alors je vais jouer le dessiner ici c'est ce cas extrêmes donc je vais redessiner le côté de longues heures 10 voilà et puis je vais maintenant dessinée longue le côté de longueur 6 mai avec un angle nul donc finalement je vais refaire il va être ici superposer aux côtés de paris va être sur le côté de longues heures 10 voilà il ya donc j'arrive ici ce qui veut dire que mon côté de longueur x et bien c'est ça et dans ce cas là je peux facilement dire quelle est la longueur du côté x il faut que 6 + 6 soit égale à 10 donc ça me donne que x doit être égal à 4 puisque 6 + 4 ça fait bien 10 voilà est en fait là on a la configuration minimale c'est à dire là c'est la configuration dans laquelle x est le plus petit possible donc la plus petite valeur possible de xc 4 mais ces quatre si on accepte de travailler avec des triangles dégénérés qui sont plus des triangles en fait qu'ils sont des segments de droite donc si on ne veut pas avoir affaire à des triangles dégénérer comme celui ci est bien la plus petite valeur que peut prendre un x c4 exclure on peut pas avoir quatre donc on va écrire que x doit être supérieur strictement à quatre et on aura l'égalité si on accepte de travailler avec des prix angle dégénéré alors voilà ça c'était une première question à laquelle on a pu répondre mais si on reprend le triangle tel qu'on l'avait dessiné au départ on peut aussi se demander quelle est la plus grande valeur que peut prendre le nom breux x qui est ici donc quel est le plus grand côté qu'on peut avoir ici en verre mais pour répondre à cette question on va travailler exactement la même manière que ce qu'on vient de fermer en se disant que pour avoir un côté plus grand et bien il va falloir qu'on augmente cet angle qui est ici effectivement si ici on comprend un angle plus grands le côté xv et va être plus long donc c'est ce qu'on va faire ici on va augmenter l'angle qui est là maintenant alors je vais du coup faire comme tout à l'heure je vais commencer par redessiné le côté longueur 10 voilà et maintenant je vais tracé le côté de longueur 6 mai avec un angle plus important ici donc par exemple voilà comme ça donc l'angle qui hélas cette fois ci je les agrandit beaucoup et du coup le côté de longueur x il il est beaucoup plus long que tout à l'heure voilà ça ici c'est le côté de longueur x alors c'est comme tout à l'heure on pourrait aller jusqu'aux cas limite aux cas extrêmes c'était bien au cas où l'angle qui est ici fait 180 degrés c'est insiste un angle plat et dans ce cas là le côté bleu le côté alors j'ai oublié de dire que ça c'était le côté de longueur 6 ce côté de longueur 6 dans le cas extrême où on a un angle plat qui serait comme ça eh bien il sera dans le prolongement du côté de longues heures 10 donc je vais dessiner ce cas extrême ici donc je vais refaire retracer mon côté de longues heures 10 voilà et puis je vais tracé dans le prolongement le côté de longueur 6 qui est ici c'est vraiment j'ai vraiment fait pivoter le côté de longueur 6 jusqu'à avoir un angle plat jusqu'à ce qu'ils le soient dans le prolongement du côté de longueur 10 voilà ici on a du coup un angle place à dire un angle de 180 degrés et ce côté là c'est une longueur de 6 alors maintenant qu'elle est le côté vers le côté de longueur x bien finalement c'est tout ça tout ça puisque le comté le côté de nos garrigues c'est le côté qui va d'une de cette extrémité à cette extrémité ici donc là on retrouve ces deux extrémités là et effectivement c'est ce qu'on voit finalement le côté de longueur 1 x est bien dans ce cas extrême qui est aussi un cas dégénéré puisque là encore une fois on a on a un triangle dégénéré c'est à dire c'est plus une figure à deux dimensions c'est une figure à une dimension seulement un segment de droite comme tout à l'heure mais cette fois ci il est plus long et ce qu'on voit c'est que dans ce cas la xl la longueur x et bien elle vaut 6 + 10 puisque c'est ces deux segments mis bout-à-bout donc ici x c'est égal à 16 voilà donc la plus grande valeur que peut prendre xc 16 si on accepte de travailler avec ce triangle dégénéré et si on veut pas avoir affaire à ce type de triangle est bien à ce moment là la plus en valeur possible ça sera 16 exclut donc on va avoir dans ce cas là x doit être inférieur à 16 strictement inférieure à 16 eleonora l'égalité uniquement si on accepte de travailler avec ce cas-là de triangle dégénéré voilà alors en fait tout ce qu'on vient de voir ici c'est un cas particulier d'un théorème important d'une propriété importante je vais alors je vais séparer tous savent qu'on appelle l'inégalité triangulaire alors cette inégalité triangulaire c'est une propriété assez intuitivement assez simple assez simple à comprendre intuitivement elle dit simplement que la longueur la longueur d'un côté dans un triangle est strictement plus petite que la somme des longueurs des oeufs dans des deux autres côtés des deux autres côtés voilà alors si on accepte de travailler avec des triangles dégénéré donc des figures unidimensionnel qui sont plus vraiment des triangles à deux dimensions à ce moment là on peut l'inégalité triangulaire peut être dit de ce comme ça la longueur d'un côté est inférieur ou égal à la somme des longueurs des deux autres côtés mais l'égalité elle correspond aux docks à deux triangles dégénéré donc en général la version classique de cette inégalité triangulaire c'est avec une inégalité strict alors ce que je voulais montrer ici c'est que tout ce qu'on a fait avant sur les valeurs maximales et minimales de la longueur x mais on aurait pu trouver uniquement partant de cette inégalité triangulaire par exemple si on se demande quelle est la plus grande valeur que peut prendre le côté x la longueur x eh bien il suffirait d'écrire que la longueur du côté excitant est inférieur à la somme des longueurs des deux autres côté donc ça donnerait x plus petit qu'eux alors si ce qui est un côté plus disque et l'autre côté +10 donc ça ça donne effectivement x plus petit que 16 ce qui est exactement le même résultat que ce qu'on a trouvé avant voilà et si on veut se demander quelle est la plus petite valeur que peut prendre x et bien on peut partir par exemple du côté 10 et se dire que le côté 10 il doit être plus petit que la somme des longueurs des deux autre côté c'est à dire que six plus alors 6 plus l'autre côté qui x6 +6 alors là il suffit que je fasse passer je soustrais 6 des deux côtés donc ça me donne 10 mois ci c'est à dire quatre plus petits que x donc x doit être plus grand que quatre donc ça c'est exactement ce qu'on a trouvé tout à l'heure ici voilà alors effectivement on aurait pu obtenir tout le travail qu'on a fait avant de manière très rapide uniquement par tant de l'inégalité triangulaire alors cette inégalité triangulaire on l'a on utilise beaucoup évidemment en géométrie mais en fait on la retrouve dans des tas d'autres domaines d'autres branche des mathématiques quand on continue à faire des mathématiques eh bien on retrouve des versions de cette inégalité triangulaire dans des tas d'autres domaines très importants avec toujours cette même idée de base assez intuitive